Формальне представлення кілець у обчисленнях

Під час читання статті про використання алгебраїчних методів для виявлення деяких індукованих підграфів виявляється, що крайовий ідеал є важливим інструментом, що з'єднує комутативну алгебру та теорію графів. Оскільки я не знайомий з обчисленнями алгебраїчних об'єктів, чи є хороші довідники чи книги на цю тему? Особливість представлення кільця R на машині Тюрінга і складність вирішення основних властивостей на R (скажімо, висота основного ідеалу в Р.)

Ваші запитання стосуються поля (не призначеного для каламбуру) під назвою "Комп'ютерна алгебра". Я сам шукав комплексних опитувань, коли працював над алгебраїчними методами для обчислення різних показників центральності графів. Я не міг знайти хороших опитувань, але ця книга була частково корисною. Дослідницькі роботи на цю "тему" розкидані по всьому і часто не категоризовані як "комп'ютерна алгебра". Читання алгоритмічних праць про ізоморфізм, факторинг (цілі числа / поліноми) та алгоритми графів на основі матричного множення може дати більше розуміння.

Наскільки мені відомо:

1. Якщо ви читаєте про нижню межу в деяких алгебраїчних обчислювальних моделях, то звичайним припущенням є те, що кільцеві або польові операції мають постійну вартість , тобто вони даються як примітиви. Це припущення, зроблене в одному з головних джерел на тему: Бургіссер, Клаузен, Шокроллахі- Алгебраїчна теорія складності (Спрингер, 1997). (І це, наприклад, моделюється алгебраїчними схемами.)

2. Якщо говорити про верхні межі , для стандартних питань алгебраїчної складності, як, наприклад, при вивченні процедур тестування поліноміальної ідентичності, то стандартним припущенням є те, що кільцеві або польові операції можуть бути обчислені в політи. Це означає, що людина працює над цілими числами або над раціональними числами, і легко знайти схему кодування, яка дозволяє такі ефективні обчислення основних операцій.

3. Для інших моїх цілей, що стосуються алгебраїчних моделей, спосіб зобразити кільце або поле - це справжнє питання, і іноді немає ефективного способу зробити це, і навіть можуть виникнути питання нерозбірливості. Мені відомі посилання, які стосуються таких питань, - це книга, яку дав Шива Кінталі, а також: Алгоритмічна алгебра , Бхубанешвар Мішра, Спрингер 1993: Розділ 3 розглядає способи представлення певних кілець.

Інші цікаві книги можуть бути: Зур Гетхен і Юрген Герхард, Сучасна комп'ютерна алгебра , Кембридж, 1999. І, можливо, Віктор Шоуп, Обчислювальний вступ до теорії чисел і алгебри , (Доступно в Інтернеті).

Можливо, вам також пощастить із ключовими словами "обчислювальна комутативна алгебра" та "обчислювальна алгебраїчна геометрія". Спробуйте CLO як вихідну точку, і подивіться на J. Symbolic Computation, та такі системи, як Macaulay2 та Singular, та документи, на які посилаються. Великий молот - це обертові бази Gr \ ", обчислення яких вирішить багато алгебраїчних задач, але в гіршому випадку вдвічі експоненціальне в цілому.