Макс-крій з від'ємними ваговими кромками

Нехай - графік з ваговою функцією . Проблема з максимальним скороченням полягає у пошуку: Якщо вагова функція невід'ємна (тобто для всіх ), то існує багато надзвичайно простих 2-наближень для максимального скорочення. Наприклад, ми можемо: $G = (V, E, w)$ $w:E\rightarrow \mathbb{R}$

arg max S \subset V \sum (u, v) \in E : u \in S, v \notin S w (u, v)

$\arg\max_{S \subset V} \sum_{(u,v) \in E : u \in S, v \not \in S}w(u,v)$

w(e)≥0 $w(e) \geq 0$

e∈E $e \in E$

Виберіть випадкове підмножина вершин $S$ .
Виберіть упорядкування у вершинах і жадібно розміщуйте кожну вершину $v$ в $S$ або $\bar{S}$ щоб максимально збільшити досі обрізані краї
Зробіть місцеві покращення: Якщо в є якась вершина, $S$ яку можна перемістити до $\bar{S}$ щоб збільшити розріз (або навпаки), зробіть переміщення.

Стандартний аналіз усіх цих алгоритмів фактично показує, що отриманий зріз принаймні такий же великий, як $\frac{1}{2}\sum_{e \in E}w(e)$ , що є верхньою межею на $1/2$ вага максимального розрізу, якщо $w$ негативний, але якщо дозволено, що деякі ребра мають негативну вагу, це не так!

Наприклад, алгоритм 1 (вибір випадкової підмножини вершин) може бути явно невдалим на графіках з негативною вагою ребер.

Моє запитання:

Чи існує простий комбінаторний алгоритм, який отримує наближення O (1) до задачі про максимальне скорочення на графіках, які можуть мати негативні ваги ребер?

Щоб уникнути можливої липкої проблеми з максимальним скороченням, що приймає значення $0$ , я дозволю, що $\sum_{e \in E}w(e) > 0$ , та / або буду задоволений алгоритмами, які призводять до невеликої помилки добавки на додаток до множинне наближення множника.

— Аарон Рот
джерело

Чи важлива тут умова "простого комбінаторного"?

— Hsien-Chih Chang 20 之

Мене найбільше цікавить такий простий, комбінаторний алгоритм, як 2-наближення для випадку позитивної ваги. Зауважте, що я запитую про будь-яке наближення O (1), тому я би сподівався, що якщо будь-який алгоритм може досягти цього, він повинен бути можливим за допомогою простого. Але мені також було б цікаво, які гарантії продуктивності є алгоритмами SDP на графах з негативною вагою ребра, або свідчать, що алгоритм наближення постійного фактора не існує, якщо .

P≠NP $P \ne NP$

— Аарон Рот

Відповіді:

Ось моя перша спроба аргументу. Це було неправильно, але я його виправив після "EDIT:"

Якщо ви могли б приблизно вирішити проблему максимального скорочення з від'ємними вагами, чи не могли б ви використати це для вирішення проблеми максимального зрізу з додатними вагами? Почніть з проблеми максимального скорочення, яку ви хочете вирішити, оптимальним рішенням якої є . Тепер покладіть велику грань від’ємної ваги (з вагою ) між та . Оптимальним рішенням нової задачі є , тому наш алгоритм гіпотетичного наближення отримає вам рішення з максимальним розрізом, значення якого не більше гірше оптимального. На початковому графіку максимальний розріз все ще максимум гірше оптимального. Якщо ви вибираєте близькому до $b$ $-a$ $u$ $v$ $b-a$ $(b-a)/2$ $(b-a)/2$ $a$ $b$ , це порушує результат непереборності, що якщо P NP, ви не зможете наблизити максимальне скорочення до кращого, ніж коефіцієнт . $\neq$ $16/17$

Редагувати:

Наведений вище алгоритм не працює, оскільки ви не можете гарантувати, що та знаходяться на протилежних сторонах відрізу в новому графіку, навіть якщо вони були спочатку. Я можу все це виправити наступним чином. $u$ $v$

Припустимо, що у нас є алгоритм наближення, який дасть нам розрізатись в коефіцієнті 2 OPT до тих пір, поки сума всіх ваг ребра буде додатною.

Як зазначено вище, почніть з графіка з усіма негативними вагами по краях. Ми знайдемо модифікований графік з деякими від’ємними вагами, таким чином, якщо ми можемо наблизити максимальний зріз в межах коефіцієнта 2, ми можемо дуже добре наблизити максимальний зріз $G$ $G^*$ $G^*$ $G$

Виберіть дві вершини і і сподівайтеся, що вони знаходяться на протилежних сторонах максимального зрізу. (Ви можете повторити це для всіх можливих щоб переконатися, що одна спроба працює.) Тепер поставте велику негативну вагу на всі ребра та для та a велика позитивна вага на межі . Припустимо, що оптимальний крій має вагу . $u$ $v$ $v$ $-d$ $(u,x)$ $(v,x)$ $x \neq u,v$ $a$ $(u,v)$ $OPT$

Зріз зі значенням в , де вершини і знаходяться на одній стороні розрізу, тепер має значення при де - кількість вершин на іншій стороні розрізу. Розріз з на протилежних сторонах з початковим значенням тепер має значення . Таким чином, якщо ми виберемо досить великий, ми можемо змусити всі розрізи з і на одній стороні мати негативне значення, тому, якщо є будь-який зріз із позитивним значенням, то оптимальний зріз у матиме та $c$ $G$ $u$ $v$ $c - 2dm$ $m$ $(u,v)$ $c$ $c + a - (n-2)d$ $d$ $u$ $v$ $G^*$ $u$ $v$ з протилежних сторін. Зауважимо, що ми додаємо фіксовану вагу до будь-якого розрізу з та протилежних сторін. $(a - (n-2)d)$ $u$ $v$

Нехай . Виберіть так що (ми виправдати це пізніше). Розріз з вагою в має та на протилежних сторонах, тепер стає розрізом із вагою . Це означає, що оптимальний зріз у має вагу . Наш новий алгоритм знаходить зріз у з вагою не менше . Це означає переріз у вихідному графіку із вагою не менше (оскільки всі надрізи в з додатною вагою роздільні $f=(a - (n-2)d)$ $a$ $f \approx - 0.98 OPT$ $c$ $G$ $u$ $v$ $c - 0.98 OPT$ $G^*$ $0.02 OPT$ $G^*$ $0.01 OPT$ $G$ $0.99OPT$ $G^*$ $u$ і ), що краще, ніж результат непереборності. $v$

Немає проблеми з вибором достатньо великого, щоб зробити будь-який розріз з і на одній стороні негативом, оскільки ми можемо вибрати такий великий, як ми хочемо. Але як же ми вибираємо так що , коли ми не знаємо , ? Ми можемо наблизити дійсно добре ... якщо дозволити - сума ваги ребер у , ми знаємо $d$ $u$ $v$ $d$ $a$ $f \approx -.99OPT$ $OPT$ $OPT$ $T$ $G$ . Таким чиномми маємо досить вузький діапазон значень для, і ми можемо перебратиприймає всі значення міжіз інтервалом. Для одного з цих інтервалів ми гарантуємо, що, і тому одна з цих ітерацій гарантовано поверне хороший розріз. $\frac{1}{2}T \leq OPT \leq T$ $f$ $f$ $-.49T$ $-.99T$ $0.005T$ $f \approx -0.98 OPT$

Нарешті, нам потрібно перевірити, чи має новий графік ваги ребер, сума яких позитивна. Ми почали з графіка, крайова вага якого мав суму , і до суми крайових ваг додали . Оскільки , ми все в порядку $T$ $f$ $-.99T \leq f \leq -.49T$

— Петро Шор
джерело

Але який ваш

та

? Звичайна постановка завдання макс-зрізу не має «спеціальні вузли» , які повинні бути відокремлені. u $u$

v $v$

— Юкка Суомела

Привіт Іне - я не думаю, що це працює. Чому обов'язково повинні існувати будь-які

та

, які розділені максимальним розрізом у вихідному графіку та залишаються відокремленими максимальним розрізом після додавання між ними важкого від’ємного краю? Розглянемо для прикладу повний графік - додавання єдиного, довільно від'ємного краю ніде взагалі не змінює значення зрізу. u $u$

v $v$

— Аарон Рот

Одне питання полягає в тому, що якщо ви додаєте від'ємне ребро між кожною парою вершин, то ви змінюєте значення різних скорочень різними сумами. (Віднімаємо, скажімо,

від значення розрізу

). Отже, ми маємо проблему, що ідентичність максимального розрізу в модифікованому графіку не обов'язково відповідає максимальному розрізу в початковому графіку. |S|⋅|S¯|⋅a $|S|\cdot|\bar{S}|\cdot a$

S $S$

— Аарон Рот

@Peter: У пункті після того, я цитував ви вибираєте досить малі , щоб

. Ви не можете сміливо вибирати бути досить великим в одному пункті , і досить мало в наступному! Зокрема, немає способу вибору

щоб гарантувати, що

для всіх

і одночасно мають

a $a$

$f \approx -0.98 OPT$

$a$

$d$

$c+a-(n-2)d>c-dm$

$0\le m \le n$

. Це випливає, тому що

для всіх

випливає, що

. $a-(n-2)d = f\approx -0.98 \cdot OPT$

$c+a-(n-2)d>c-dm$

$0\le m \le n$

$f=a-(n-2)d > 0$

— Воррен Шуді

@Warren, ви вибираєте

досить великий, щоб

для всіх скорочень. Це можна зробити, вибравши

досить великий. Ви потім вибрати

потрібному розмірі , так що оптимальний розріз трохи - трохи вище

. Прочитайте два останні пункти моєї відповіді. $d$

$c-dm<0$

$d$

$a$

$0$

— Пітер Шор

У статті " Приблизний максимальний розріз " С. Хар-Пеледа в останньому рядку статті згадувалося, що реальна зважена версія максимального розрізу обговорювалася

Апроксимація норми скорочення через нерівність гротендіка , Нога Алон та Ассаф Наор, журнал обчислювальної техніки SIAM, 2006.

Це дійсно алгоритм SDP, і мені здається, що коефіцієнт наближення становить 0,56, хоча я не впевнений, чи зменшення, про яке йдеться в статті, зберігає відношення. Можливо, глибший погляд у папір допоможе!

— Сісен-Чі Чанг 張顯之
джерело

проблема в Алон-Наорі схожа, але я не думаю, що співвідношення зберігає зменшення. їхня проблема полягає в тому, щоб максимізувати

де

- матриця

. для макс-різання та його близьких родичів важливо, що

$x^TMy$

$x, y \in \{\pm 1\}^n$

$M$

$n \times n$

$x = y$

— Сашо Ніколов

@SashoNikolov: для скороченої норми це несуттєво, аж до постійних факторів, вимагаємо ми

чи ні. $x=y$

— Девід

@david Я знаю це зменшення, але твердження, яке насправді відповідає дійсності, - це

де всі максимуми перевищують

, а

симетричний з негативною діагоналлю. Однак проблема

$\max_x |x^TMx| \leq \max_{x, y}{x^TMy} \leq 4 \max_x |x^TMx|$

$\{-1, 1\}^n$

$M$

$\max_x |x^TMx|$ може мати дуже різне значення від

(що нам потрібно для MaxCut). Наприклад, розглянемо

, де

- матриця

усіх. Ви можете бачити, що

становить приблизно

, тоді як

. $\max_x x^TMx$

$M = I-J$

$J$

$n\times n$

$\max_{x}{x^TMx}$

$n/2$

$\max_{x}{|x^TMx|}$

$n^2 - n$

— Це Миколи

Ваша проблема має логарифмічне наближення шляхом зведення до задачі квадратичного програмування.

Проблема MaxQP - це проблема наближення квадратичної форми для матриці , де варіюється понад . MaxCut можна записати в цій формі, встановивши $x^TMx$ $n \times n$ $M$ $x$ $\{\pm 1\}^n$ де- матриця ідентичності, а- матриця суміжності. Алгоритм MaxQP Чарикар і Wirthдаєнаближення для MaxQPтих пірякмають неотрицательную діагональ. Так що, поки, MaxCut з негативними вагами має логарифмічний. $M = \frac{1}{2n}(\sum{w_e})I - \frac{1}{2}A$ $I$ $A$ $O(\log n)$ $M$ $\sum{w_e} \geq 0$

— Сашо Ніколов
джерело