Випадкові обмеження та зв’язок із загальним впливом булевих функцій

Скажімо, у нас булева функція $f:\{-1,1\}^n\rightarrow \{-1,1\}$ і ми застосовуємо $\delta$-випадкове обмеження на $f$. Крім того, скажіть, що дерево рішень$T$ що обчислює $f$ скорочується до розміру $O(1)$внаслідок випадкового обмеження. Чи означає це, що це означає$f$ має дуже низький загальний вплив?

Претензія: Якщо$\delta$-випадкове обмеження $f$ має дерево рішень розміру $O(1)$ (в очікуванні), то загальний вплив таких $f$ є $O(\delta^{-1})$.

Ескіз доказування: За визначенням, який ми маємо $Inf(f) = n \cdot \Pr_{x,i}[f(x) \neq f(x+e_i)]$. Будемо верхньою межею , застосувавши спочатку -обмеження, потім вибравши серед решти координат, і зафіксувавши в випадково все, крім .$\Pr_{x,i}[f(x) \neq f(x+e_i)]$$\delta$$i \in [n]$$x_i$

Тепер, якщо -обмеження зменшує дерево рішення до розміру , то, зокрема, -обмеження залежить від координованого. Виберемо тепер одну випадкову нефіксовану координату (серед ) та зафіксуємо всі інші випадковим чином. Оскільки -обмеження залежить від максимум координат, ми отримуємо функцію (на один біт), яка не є постійною з вірогідністю максимум . Тому , як потрібно.$\delta$$f$$O(1)$$\delta$$f$$r = O(1)$$\delta n$$\delta$$f$$r$$\frac{r}{\delta n}$$Inf(f) = n \cdot \Pr_{x,i}[f(x) \neq f(x+e_i)] \leq \frac{r}{\delta}$

Зауваження: Вищенаведена заява є жорсткою, використовуючи функцію парності на бітах .$O(1/\delta)$