Перевірка наявності поліноміальних факторів на лінійних факторах

Дозволяє $f\in\mathbb{Q}[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}]$ бути многочленом, заданим арифметичною схемою $C$ розміру $s$ . Дано $C$ як вхід, чи існує детермінований алгоритм, щоб перевірити, чи всі невідворотні фактори $f$ в $\mathbb{Q}[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}]$ є лінійними формами? На спорідненій ноті, заданій лінійній формі $l=\sum_{i=1}^{n}l_{i}\cdot x_{i}$ , чи можемо ми детерміновано перевірити, чи є $l$ є фактором $f$ . Звичайно, ми хочемо, щоб час роботи був поліном в обох випадках. Під розміром ми маємо на увазі загальний розмір бітів. Також можна припустити, що ступінь $f$ є многочлена в $n$ .

ds.algorithms algebraic-complexity arithmetic-circuits

— Горав Джиндал
джерело

Коли ви говорите "розмір

s

$s$ "чи означає це число воріт / проводів або загальний розмір бітів (з урахуванням бітів, які використовуються для опису будь-яких констант ланцюга)?"

— Джошуа Грохов

@JoshuaGrochow, так, розмір тут - розмір тотального біта.

— Горав Джиндал

Три коментарі, які ви, мабуть, вже маєте на увазі, але про всяк випадок: 1. Щодо часу полінома, алгоритми факторизації для арифметичних схем є многочленними за розміром і ступенем многочлена, і мені не відомі алгоритми відповідних завдань, які виконуються в тимчасовий многочлен лише в розмірі. 2. Щодо детермінізму, ці алгоритми рандомізовані, а детерміновані варіанти стають експоненціальними у кількості змінних. 3. Друге питання може бути перетворено на проблему ПДФО, тому ваше запитання означає дерадонізацію певного алгоритму ПДФО.

— Бруно

Я також додаю, що мені ці проблеми дуже цікаві, і я хотів би знати, що вже відомо про це!

— Бруно

повторно ПІТ, тестування поліноміальної ідентичності за допомогою Шварца-Зіппеля / wikipedia & в цій галузі проводиться багато активних досліджень. (повторно, що pg PIT може бути використаний для множника цілих чисел, але що таке коефіцієнт, який визначає, як його використовувати для

— множення множин

Наскільки мені відомо, найкращий алгоритм, який ми маємо зараз перевірити, чи є $f$ (задана арифметичною схемою) можна розподілити на лінійні коефіцієнти через рандомізований алгоритм Kaltofen (PDF), який фактично створює чорні скриньки для всіх невідводячих факторів $f$ , і працює над будь-яким достатньо великим полем. Насправді цю проблему поліноміальної факторизації для загальних схем недавно показали Коппарті, Сараф та Шпілка як рівнозначну проблемі blackbox-PIT для загальних схем.

Як згадував Бруно, якщо ви зацікавлені у тому, щоб перевірити дану схему, ділиться даною $\ell$ , то це зводиться до конкретної проблеми ПДФО. Ми не знаємо, як це зробити детерміновано в цілому, але я знаю один особливий випадок, коли ми знаємо, як це зробити ПДФО. Існує детермінований полі-часовий алгоритм (PDF), щоб перевірити, чи є даний $\ell$ ділить заданий розріджений многочлен $f$ .

(Ще один тривіальний особливий випадок, коли $f$ задається обмеженою верхньою схемою три глибини вентилятора. Там, $f \bmod \ell$ також є обмеженим вентилятором глибиною три ланцюга, і ми знаємо, як робити ПІТ у детермінований поліном час.)

— Рампрасад
джерело