Ігри з референтами з неспорідненими напівприватними монетами

Я був (і все ще є) дуже зацікавлений у відповіді на це питання, тому що це цікава варіація щодо складності ігор, яка не була вирішена, тому я запропонував щедроту. Я вважав, що оригінальне запитання було дуже важким, тому я розмістив три пов'язані з цим питання, які також були б гідними винагороди. Ніхто не публікував відповідей до того, як термін щедрості закінчився. Пізніше я зміг відповісти на два пов'язані з цим питання (питання 3 та 4, обговорювані нижче мого початкового поста), показавши, що приблизне значення рецензованих ігор з співвіднесеними напівприватними монетами (визначеними нижче) було EXPTIME-завершеним. Оригінальне запитання досі не відповідає. Мені також будуть цікаві будь-які результати, що ставлять пов'язані ігри між PSPACE та EXPTIME в цікаві класи складності.

ОРИГІНАЛЬНА ПОСТ:

Це питання було натхнене дискусією щодо шестигранного питання Ітая . Реферативний гра це гра , де два обчислювально необмежені гравці грають шляхом спілкування через поліноміальний час перевіряючий , який може перевернути приватні монети (таким чином, число витків і кількість комунікації також поліноміальний час обмежено). В кінці гри арбітр запускає алгоритм в P, щоб визначити, хто виграє. Визначення того, хто виграє таку гру (навіть приблизно), EXPTIME завершено. Якщо у вас є публічні монети та публічне спілкування, такі ігри є у PSPACE. ( Див. Фейже та Кілліан, "Зробити ігри короткими". ) Моє запитання стосується межі між цими двома результатами.

• Питання: Припустимо, у вас є два обчислювальних необмежених гравця, які грають у гру в поліноміальну довжину. Роль арбітра перед кожним ходом обмежується наданням кожному гравцеві деякої кількості приватних монетних ручок (некорельованих з іншими гравцями). Усі кроки гравця є загальнодоступними, і так його бачить його противник - єдина приватна інформація - це монета, яка перегортається. В кінці гри розкриваються всі приватні монети, і арбітр багаторазового використання використовує ці монети і переходи гравця, щоб вирішити, хто виграє.

  За результатами реферативних ігор приблизна ймовірність того, що перший гравець виграє, є EXPTIME, і це також чітко PSPACE-важко. Який (якщо є)? Щось відомо про цю проблему?

Зауважте, що гравцям, можливо, доведеться використовувати змішані стратегії, оскільки ви можете грати в матричні ігри з нульовою сумою (a la von Neumann) таким чином.

ДОБАВЛЕНО МАТЕРІАЛ:

Назвемо цей клас складності RGUSP (усі мови які можна звести до Реферованої гри з некоррельованими напівпривадними монетами, як описано вище, таким чином, що якщо , гравець 1 виграє з вірогідністю , і якщо , гравець 1 виграє з імовірністю ). Мої три пов'язані питання:$L$$x \in L$$\geq 2/3$$x \notin L$$\leq 1/3$

• Питання 2: RGUSP здається досить надійним. Наприклад, якщо ми змінимо гру, щоб арбітр не надсилав повідомлення, а лише спостерігав за публічними повідомленнями гравця 1 та 2 та отримував від них приватні повідомлення, то приблизне значення цієї гри все одно еквівалентне RGUSP. Я хотів би продемонструвати, що RGUSP є надійним, тому я готовий надати винагороду тому, хто виявить природний клас складності C, так що PSPACE C RGUSP, де жоден із вмісту не здається точним.$\subseteq$$\subseteq$

• Питання 3: Я також сильно підозрюю, що клас RGCSP (Ігри, що реферуються з коригуваними напівпривадними монетами) є ДОСЛІДЖЕНО завершеним, і я також готовий дати винагороду тому, хто доводить цей факт. У RGCSP на першому кроці арбітр дає двом гравцям співвіднесені випадкові величини (наприклад, він може дати першому гравцеві крапку у великій проективній площині, а другому гравцеві лінію, що містить цю точку). Після цього для поліноміального числа раундів два гравці по черзі надсилають один одному загальнодоступні повідомлення розміром із кількома полінами. Після того, як гра відбулася, арбітр у багато разів вирішує, хто виграв. Яка складність наближення ймовірності виграшу для гравця 1?

• Питання 4: Нарешті, у мене виникає запитання, яке може бути насправді щодо криптографії та розподілу ймовірностей: чи дає можливість виконувати необов’язкові передачі двом гравцям у реферованій грі з некоррельованими напівприватними монетами, нехай вони грають у довільну рецензовану гру з корельованими монетами (або, як альтернатива, чи дозволяють вони грати в гру, яка визначає переможця якої є EXPTIME-завершеною)?

Я не можу відповісти на своє первісне запитання, але можу відповісти на запитання 3 (і 4), яке я додав, коли запропонував щедроту, бо вважав, що початкове питання, ймовірно, занадто важке. Насправді у мене є два докази питання 3.

$2/3$

======== Доказ 1 =============

Перший доказ використовує той факт, що забута передача є універсальною для безпечних двосторонніх обчислень. Таким чином, якщо гравці 1 і 2 можуть виконувати непримітні передачі, вони можуть імітувати довільного арбітра поліноміального часу, тож можна застосувати попередні результати, за якими референтні ігри закінчуються EXPTIME.

$r_1$$r_2$$r_i$$i$$=1$$2$$r_1$$r_2$. Потім P2 може декодувати один з них, але P1 не може сказати, який P2 може декодувати. Це 1-2 беззаперечні передачі. (Очевидно, що арбітр також повинен дати гравцям невідомі передачі, спрямовані в інший бік, від P2 до P1.)

Коли я вперше задав питання 4, я переживав, що безпечні результати двосторонніх обчислень не застосовуються до такого типу інтерактивних обчислень із суддею, але насправді досить просто показати, що вони роблять.

=========== Доказ 2 ============

$2^n$$t$$Q_t($$, \ldots,$$)$$p$$Q_t$$t$$Q_t$$Q_{t+1}$

Перше, що ми будемо використовувати, це те, що навіть при неспоріднених випадкових монетах арбітр може змусити гравців 1 і 2 виконувати бітове зобов’язання, надаючи їм XOR дані, які вони хочуть зробити з випадковими монетами. Таким чином, ми можемо говорити про те, що P1 і P2 ставлять речі в запечатані конверти.

$p_i$$\ell_i$$p_i$$\ell_i$$Q_{t}(p_i)$$Q_t(\ell_i)$$(p_i, \ell_i)$

$(p_i, \ell_i)$

$Q_t(p_i)$$Q_t(p_j)$${p}'_k$${\ell}'_k$до набору ліній Р2. Нехай у кожної манекенової лінії є дві точки на ній. Якщо P1 трапляється давати правильне значення для однієї манекенової точки на лінії, а неправильне значення для іншої манекенової точки, то він виявив себе як брехун, оскільки немає можливості P2 надати значення для рядка, який є правильно для однієї з двох точок P1 на ній, а не для іншої. Ми можемо зробити подібний трюк, щоб змусити P2 відповідати послідовно. Тоді єдине, що залишилося - це показати, що останній крок доказу Фейге-Кіліана все ще працює. Це виявляється просто, хоча деталізація дозволить цю відповідь значно довше.