що легко для графіків, що не стосуються менших розмірів?

Наблизити кількість забарвлень, здається, легко на графіках із незначним виключенням, використовуючи алгоритм Юнга / Шаха. Які ще є приклади проблем, які важкі для загальних графіків, але легкі для графіків, що не мають другого значення?

Оновлення 10/24 Схоже, за результатами Grohe випливає, що формула, яка є FPT для тестування на графіках з обмеженою шириною, є FPT для тестування на незначних виключених графіках. Тепер питання - як це стосується простежуваності підрахунку, що задовольняє завдання такої формули?

Вищенаведене твердження хибне. MSOL є FPT на обмежених графах ширини дерев, однак 3-кольоровість є NP-повною на плоских графах, які незначні.

Найбільш загальний результат, відомий Grohe. У липні 2010 року було представлено резюме:

• Мартін Грое, визначення фіксованої точки та поліноміальний час на графіках із виключеними неповнолітніми , LICS 2010. ( PDF )

Коротше кажучи, будь-яке твердження, яке виражається в логіці з фіксованою точкою з підрахунком, має алгоритм поліноміального часу для класів графіків, принаймні одного виключеного другорядного. (FP + C - логіка першого порядку, доповнена оператором з фіксованою точкою та предикатом, що надає кардинальність визначених наборів вершин). Ключова ідея полягає в тому, що виключення мінору дозволяє графікам у класі впорядкувати деревоподібні розклади, які можна визначити за логікою з фіксованою точкою (без підрахунку).

Отже, великий клас відповідей на ваше запитання можна отримати, розглядаючи властивості, які можна визначити у FP + C, але які важко підрахувати.

Редагувати: Я не впевнений, що це насправді відповідає на ваше запитання, тим більше для оновлення. Вказівник та твердження результату Grohe правильні, але я не думаю, що викреслений текст має значення для вашого питання. (Дякую Стефану Кройтцеру за вказівку на це.) Можливо, варто уточнити: чи хочете ви проблему підрахунку, яка в цілому є складною, але легкою для занять з виключенням незначних класів, або проблема з рішенням?

Цікавою властивістю неповнолітніх сімей графіків є те, що вони обмежили виродження . Це означає, що всі проблеми, легкі для графіків обмеженого виродження, є простими для графіків із неповнолітньої закритої родини.

Так, наприклад, пошук того, чи графік містить кліку розміром k, як правило, є важкою проблемою, і найкращі алгоритми схожі на . Однак, якщо ми знаємо, що виродження є постійною, то k-кліки можна знайти в лінійному часі, тобто в O (n) час. Стаття Вікіпедії про проблему кліків дає певну інформацію і про це. (Точний час роботи - це щось на зразок O ( k d ( G ) k n ) .) Цей алгоритм застосовують Чиба та Нішизекі .$O(n^k)$$O(k d(G)^k n)$

Інші приклади можна знайти в цій відповіді Девіда Еппштейна на MathOverflow на аналогічне запитання про графіки з обмеженою виродженістю.

Як доповнення, ще однією корисною властивістю для алгоритмів на графіках, що виключаються з другорядними можливостями, є те, що ці графіки мають невеликі роздільники . Точніше, через

Лінійний алгоритм часу для пошуку роздільника у графіку, що виключає неповнолітніх , Брюса Ріда та Девіда Р. Вуда, операції ACM за алгоритмами, 2009 р.,

існує лінійний алгоритм часу , щоб знайти роздільник розміру , або O ( п 3 / 2 + т ) алгоритм часу , щоб знайти роздільник розміру $O(n^{2/3})$$O(n^{3/2} + m)$ .$O(n^{1/2})$

Сепаратори корисні для динамічних методів програмування , і багато проблем, повних NP, мають швидкі алгоритми з хорошим співвідношенням наближення, скажімо, що рішення знаходиться в постійному коефіцієнті оптимального, або навіть PTAS. Планарні графіки та загалом обмежені графіки роду є хорошими вихідними пунктами при спробі вирішити проблеми на графіках, що не стосуються другорядних груп.

$O(1)$

Алгоритмічна теорія другорядних графіків: декомпозиція, наближення та забарвлення по Демайн, Хаджіаяї та Каварабаяші

У цій роботі дана алгоритмічна версія певного (дещо складного для пояснення) декомпозиції для виключених другорядних графіків, гарантованих теоремою Робертсона та Сеймура, що дає ряд цих покращених результатів наближення. Також ознайомтеся з посиланнями на них.

$K_5$$K_{3,3}$ мінори вільних), NP-твердість на плоских графах не може зробити висновок, що це важко і для інших графіків, що не .

$H$$H$ 1 ].

$K_t$$(t-1)$$K_t$$(t-1)$$t− 2$