Твердість наближення - добавна помилка


24

Існує багата література і принаймні одна дуже хороша книга, яка викладає відому твердість результатів апроксимації для задач, пов'язаних з твердими NP, в контексті мультиплікативної помилки (наприклад, 2-наближення для покриття вершин є оптимальним, якщо вважати UGC). Сюди також входять добре зрозумілі класи складності наближення, такі як APX, PTAS тощо.

Що відомо, коли слід враховувати помилку присадки? Пошук літератури показує кілька результатів верхньої межі, особливо для упаковки у сміттєві контейнери (див., Наприклад, http://www.cs.princeton.edu/courses/archive/spr03/cs594/dpw/lecture2.ps ), але чи є більш всебічна класифікація класів складності або є причина, чому вона не така цікава чи актуальна?

Як додатковий коментар, наприклад, для упаковки у сміттєві контейнери, наскільки я не знаю, немає теоретичної причини, чому не вдалося знайти алгоритм полі часу, який завжди знаходиться на відстані присадки від оптимального рівня 1 (хоча я можу виправити ). Буде такий алгоритм руйнувати будь-які класи складності або матиме якийсь інший значний теоретичний нокаутний ефект?

EDIT: Ключова фраза, яку я не використовував, - це "клас асимптотичного наближення" (дякую Олександру). Здається, що в цій галузі є якась робота, але вона ще не вийшла на той самий етап зрілості, як теорія класичних класів наближення.


Яку назву книги ви згадуєте?
Кароліна Солтис

2
Я не впевнений, що це правильно. Див. Сторінку 2 приміток, пов'язаних із запитанням, зокрема теореми 3 та 4 та відкриту проблему, викладену трохи нижче теореми 4. Особливою книгою, про яку я мав на увазі, є Алгоритми наближення Віджая Вазірані, що є відмінним.
Рафаель

Фриз і Каннан ( research.microsoft.com/en-us/um/people/kannan/Papers/… ) дали рандомізований алгоритм постійного часу з додатковою помилкою epsilon n ^ k для будь-якої проблеми задоволення максимальних обмежень з обмеженнями k arity.
Воррен Шуді

Я думаю, що упаковка у відро для сміття в межах OPT + 1 повністю відповідає сучасним знанням. Насправді, конфігурація LP передбачається, щоб вона мала розрив додаткової інтегральності (я вважаю гіпотезу трохи дикою, але немає відомих зустрічних прикладів).
Сашо Ніколов

Відповіді:


23

Питання дещо відкрите, тому я не думаю, що на нього можна відповісти повністю. Це часткова відповідь.

Просте спостереження полягає в тому, що багато проблем нецікаві, коли ми розглядаємо адитивне наближення. Наприклад, традиційно об'єктивною функцією проблеми Max-3SAT є кількість задоволених пропозицій. У цьому формулюванні наближення Max-3SAT в помилці добавки O (1) еквівалентно точному вирішенню Max-3SAT, просто тому, що цільову функцію можна масштабувати, копіюючи формулу введення багато разів. Мультиплікативне наближення набагато важливіше для подібних проблем.

[Редагувати: У попередній редакції я використав незалежний набір як приклад у попередньому абзаці, але я змінив його на Max-3SAT, оскільки Незалежний набір не є гарним прикладом для ілюстрації різниці між мультиплікативним наближенням та адиктивним наближенням; наближення незалежного набору навіть у мультиплікативному множнику O (1) також є NP-важким. Насправді, набагато сильніша несподіваність незалежного набору демонструє Хестад [Has99].]

Але, як ви вже говорили, адитивне наближення цікаве для таких проблем, як упаковка у смітник, де ми не можемо масштабувати цільову функцію. Крім того, ми часто можемо переформулювати проблему, щоб адитивне наближення стало цікавим.

Наприклад, якщо об'єктивна функція Max-3SAT буде визначена як відношення кількості задоволених пропозицій до загальної кількості пунктів (як це іноді робиться), додаткове наближення стає цікавим. У цьому налаштуванні адитивне наближення не складніше, ніж мультиплікативне наближення в тому сенсі, що приблизність в межах мультиплікативного коефіцієнта 1− ε (0 < ε <1) передбачає приблизність в межах помилки адитиви ε , оскільки оптимальне значення завжди є максимум 1.

Цікавим фактом (який, на жаль, часто не помічається) є те, що багато невідкладних результатів доводять NP-повноту певних проблем із розривом.що не випливає з простої твердості NP мультиплікативного наближення (див. також Петранк [Pet94] та Голдріх [Голь05, Розділ 3]). Продовжуючи приклад Max-3SAT, добре відомим результатом Хестада [Has01] є те, що NP-важко наблизити Max-3SAT в межах постійного мультиплікативного коефіцієнта, кращого 7/8. Сам цей результат, мабуть, не означає, що NP-важко наблизити версію співвідношення Max-3SAT в межах постійної похибки добавки понад деякий поріг. Однак те, що доводить Хестад [Has01], сильніше, ніж проста мультипликативна невідповідність: він доводить, що наступна проблема обіцянки NP-повна для кожної постійної 7/8 < s <1:

Екземпляр Gap-3SAT s : Формула CNF φ, де кожен пункт включає в себе рівно три різних змінні. Так-обіцянка : φ підходить. Не обіцяйте : жодне присвоєння істини не задовольняє більше, ніж s частки пункту φ.


Виходячи з цього, можна зробити висновок, що NP-важко наблизити версію співвідношення Max-3SAT в межах додаткової помилки, що перевищує 1/8. З іншого боку, звичайне, просте випадкове призначення дає наближення в межах додаткової помилки 1/8. Отже, результат Хестада [Has01] дає не лише оптимальну мультиплікативну невідповідність цієї проблеми, але й оптимальну непридатність додаткової добавки. Я здогадуюсь, що існує безліч адекватних результатів непридатності, подібних цьому, які явно не з'являються в літературі.

Список літератури

[Gol05] Од Голдрайх. Про проблеми з обіцянками (опитування на згадку про Шимона Евен [1935-2004]). Електронний колоквіум про складність обчислень , звіт TR05-018, лютий 2005 р. Http://eccc.hpi-web.de/report/2005/018/

[Has99] Йохан Хестад. Клік важко наблизити в межах n 1− ε . Acta Mathematica , 182 (1): 105–142, березень 1999 р. Http://www.springerlink.com/content/m68h3576646ll648/

[Has01] Йохан Хестад. Деякі оптимальні результати несподіваності. Журнал ОСББ, 48 (4): 798–859, липень 2001 р. Http://doi.acm.org/10.1145/502090.502098

[Pet94] Ерез Петранк. Твердість наближення: Розташування зазорів. Обчислювальна складність , 4 (2): 133–157, квітень 1994 р. Http://dx.doi.org/10.1007/BF01202286


3
Як інший приклад, я думаю, що було б цілком природно сформулювати задачу про максимальний розріз, щоб ми максимізували частку ребер у розрізі. Знову ми маємо як позитивні, так і негативні результати для адитивного наближення.
Jukka Suomela

1
@Jukka, Не могли б ви надати посилання на цю формулу Max-cut?
Мохаммед Аль-Туркстані

1
Дуже дякую. Здається, що це область, яка потребує хоча б обстеження. Наскільки я бачу, зоопарк складності навіть не згадує додаткові класи наближення помилок (хоча він такий великий, що, можливо, я щось пропустив).
Рафаель

@Raphael: Я вважаю опитування (або вказівник на одне) досить корисним. Наскільки я можу сказати, класи алгоритму наближення востаннє обстежувались десь десять років тому, і я вважав презентацію далеко не зрозумілою.
Андрас Саламон

6

Це часткова відповідь

АБSАБS

NP

-Кожна кубічна графіка є 4-кольоровим у поліноміальний час, але крайове 3-кольорове забарвлення NP-жорстке.

АБSП=NП


Спасибі. Я зауважую, що ABS не вказаний у зоопарку складності qwiki.stanford.edu/index.php/Complexity_Zoo:A . У вас є посилання на це?
Рафаель


Я маю рацію, думаючи, що назва ABS для класу складності - це те, що ви щойно вигадали, чи є посилання на нього? Посилання, яке ви опублікували, схоже, не згадує.
Рафаель

@Raphael, Ні, назву ABS я не придумав, я її давно прочитав десь.
Мохаммед Аль-Туркстані

Використовуючи наш веб-сайт, ви визнаєте, що прочитали та зрозуміли наші Політику щодо файлів cookie та Політику конфіденційності.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.