Питання дещо відкрите, тому я не думаю, що на нього можна відповісти повністю. Це часткова відповідь.
Просте спостереження полягає в тому, що багато проблем нецікаві, коли ми розглядаємо адитивне наближення. Наприклад, традиційно об'єктивною функцією проблеми Max-3SAT є кількість задоволених пропозицій. У цьому формулюванні наближення Max-3SAT в помилці добавки O (1) еквівалентно точному вирішенню Max-3SAT, просто тому, що цільову функцію можна масштабувати, копіюючи формулу введення багато разів. Мультиплікативне наближення набагато важливіше для подібних проблем.
[Редагувати: У попередній редакції я використав незалежний набір як приклад у попередньому абзаці, але я змінив його на Max-3SAT, оскільки Незалежний набір не є гарним прикладом для ілюстрації різниці між мультиплікативним наближенням та адиктивним наближенням; наближення незалежного набору навіть у мультиплікативному множнику O (1) також є NP-важким. Насправді, набагато сильніша несподіваність незалежного набору демонструє Хестад [Has99].]
Але, як ви вже говорили, адитивне наближення цікаве для таких проблем, як упаковка у смітник, де ми не можемо масштабувати цільову функцію. Крім того, ми часто можемо переформулювати проблему, щоб адитивне наближення стало цікавим.
Наприклад, якщо об'єктивна функція Max-3SAT буде визначена як відношення кількості задоволених пропозицій до загальної кількості пунктів (як це іноді робиться), додаткове наближення стає цікавим. У цьому налаштуванні адитивне наближення не складніше, ніж мультиплікативне наближення в тому сенсі, що приблизність в межах мультиплікативного коефіцієнта 1− ε (0 < ε <1) передбачає приблизність в межах помилки адитиви ε , оскільки оптимальне значення завжди є максимум 1.
Цікавим фактом (який, на жаль, часто не помічається) є те, що багато невідкладних результатів доводять NP-повноту певних проблем із розривом.що не випливає з простої твердості NP мультиплікативного наближення (див. також Петранк [Pet94] та Голдріх [Голь05, Розділ 3]). Продовжуючи приклад Max-3SAT, добре відомим результатом Хестада [Has01] є те, що NP-важко наблизити Max-3SAT в межах постійного мультиплікативного коефіцієнта, кращого 7/8. Сам цей результат, мабуть, не означає, що NP-важко наблизити версію співвідношення Max-3SAT в межах постійної похибки добавки понад деякий поріг. Однак те, що доводить Хестад [Has01], сильніше, ніж проста мультипликативна невідповідність: він доводить, що наступна проблема обіцянки NP-повна для кожної постійної 7/8 < s <1:
Екземпляр Gap-3SAT s : Формула CNF φ, де кожен пункт включає в себе рівно три різних змінні. Так-обіцянка : φ підходить. Не обіцяйте : жодне присвоєння істини не задовольняє більше, ніж s частки пункту φ.
Виходячи з цього, можна зробити висновок, що NP-важко наблизити версію співвідношення Max-3SAT в межах додаткової помилки, що перевищує 1/8. З іншого боку, звичайне, просте випадкове призначення дає наближення в межах додаткової помилки 1/8. Отже, результат Хестада [Has01] дає не лише оптимальну мультиплікативну невідповідність цієї проблеми, але й оптимальну непридатність додаткової добавки. Я здогадуюсь, що існує безліч адекватних результатів непридатності, подібних цьому, які явно не з'являються в літературі.
Список літератури
[Gol05] Од Голдрайх. Про проблеми з обіцянками (опитування на згадку про Шимона Евен [1935-2004]). Електронний колоквіум про складність обчислень , звіт TR05-018, лютий 2005 р. Http://eccc.hpi-web.de/report/2005/018/
[Has99] Йохан Хестад. Клік важко наблизити в межах n 1− ε . Acta Mathematica , 182 (1): 105–142, березень 1999 р. Http://www.springerlink.com/content/m68h3576646ll648/
[Has01] Йохан Хестад. Деякі оптимальні результати несподіваності. Журнал ОСББ, 48 (4): 798–859, липень 2001 р. Http://doi.acm.org/10.1145/502090.502098
[Pet94] Ерез Петранк. Твердість наближення: Розташування зазорів. Обчислювальна складність , 4 (2): 133–157, квітень 1994 р. Http://dx.doi.org/10.1007/BF01202286