Чи може імовірнісна машина Тьюрінга вирішити проблему зупинки?

Комп'ютер, що отримує нескінченний потік справді випадкових біт, є більш потужним, ніж комп'ютер без одного. Питання в тому: чи достатньо потужно це вирішити проблему зупинки?

Тобто чи може імовірнісний комп’ютер визначити, зупиняється чи ні детермінована програма?

Приклад імовірнісного комп'ютера, який робить щось детерміноване, не може: Розглянемо невелику програму (довжиною менше кілобайт), яка виводить рядок зі складністю Колмогорова, більший за гігабайт. складність Колмогороварядка - це довжина найкоротшої детермінованої програми, що виробляє цю рядок. Таким чином, за визначенням, детермінована програма не може створити рядок, складність якої перевищує її власну довжину. Однак, якщо дано нескінченний потік справді випадкових бітів, невелика програма здатна досягти завдання з успіхом 99,99999 ...%, просто повторивши, скажімо, 10 мільярдів випадкових біт і сподіваючись, що складність цих біт Колмогорова досить висока. . Отже, створення ряду вищої складності Колмогорова знаходиться в межах горизонту можливостей імовірнісної програми, але взагалі неможливо для детермінованої програми.

Однак, мені цікаво, чи можна використовувати справді випадкові біти для ножовки при проблемі зупинки. Наприклад, алгоритм може випадково генерувати теореми та доводити / спростовувати / відкидати їх, поки він не знає достатньо, щоб довести / спростувати, що дана детермінована програма зупиняється.

редагувати: Я просто зрозумів, що деякі речі, які я написав, були цілковитою нісенітницею, вибачте за це. Тепер я змінив доказ і зробив визначення ймовірнісної машини, яку я використовую, більш точним.

Я не знаю, чи правильно я визначу ваше визначення ймовірнісної машини Тьюрінга: це машина з додатковою стрічкою, на якій написана нескінченна нестислима струна, а поруч вона діє так, як детермінована машина? Якщо ми виправляємо нестислимий рядок, клас, який ми отримуємо, не здається цікавим.

Я думаю, що ми можемо визначити ймовірнісну машину Тьюрінга кількома способами. Я буду використовувати визначення, яке здається цілком природним (і для якого моє доказ працює;) Давайте визначимо ймовірнісну машину так: вона отримує додаткову стрічку, на якій написана якась нескінченна рядок, ми говоримо, що ця машина визначає мову якщо для кожен x ∈ L він зупиняється і приймає з вірогідністю > $L$$x \in L$ , коли ймовірність взята на ці додаткові випадкові рядки, і для кожногоx∉Lвона зупиняється та відкидає з вірогідністю>$>\frac{1}{2}$$x \not \in L$ .$>\frac{1}{2}$

Тепер ми покажемо, що якщо існує така ймовірнісна машина яка вирішує проблему зупинки детермінованих машин, ми могли б використати її для створення детермінованої машини H, яка вирішує проблему зупинки для детермінованих машин - і ми знаємо, що така машина не може існувати.$P$$H$

Припустимо, такий існує. Ми можемо побудувати детерміновану машину M, яка приймає за вхід імовірнісну машину R з деяким входом x , який$P$$M$$R$$x$

• $R$$x$$R$$x$
• $R$$x$$R$$x$
• петлі інакше

$M$$i \in 1, 2, ...$$R$$x$${{0,1}}^i$$R$

• $>\frac{1}{2}$$i$ $R$$i$$M$
• $>\frac{1}{2}$$i$ $R$$i$$M$
• $M$$i := i+1$

$R$$x$$p >\frac{1}{2}$$i$$>\frac{1}{2}$$i$$i$$p >\frac{1}{2}$$i$$i$$p >\frac{1}{2}$

$H$$N$$x$$H(N,x) = M(P(N,x))$$M(P(N, x))$

• машина зупиняється і приймає більше половини випадкових рядків
• машина зупиняється та відхиляє більш ніж половину випадкових рядків.

Це залежить від того, що ви маєте на увазі під імовірнісним алгоритмом, визначає деякий предикат.

Існує тривіальний Імовірнісний алгоритм Р такі , що для детермінованої машини Тьюринга М ,

• P ( M ) приймає з ненульовою ймовірністю, якщо M зупиняється,
• P ( M ) ніколи не приймає, якщо M не зупиняється, і
• Р ( М ) зупиняється з ймовірністю 1 для кожного М .

Тому ймовірнісний алгоритм Р вирішує задачу зупинки детермінованих машин Тьюрінга в цьому сенсі. (Тут " M зупинки" означає " M зупинки на порожньому вході".)

Однак якщо ви посилите вимогу будь-яким розумним способом, навряд чи ви зможете вирішити проблему зупинки детермінованих машин Тьюрінга. Наприклад,

• Якщо вам потрібно, щоб P ( M ) зупинявся завжди замість просто ймовірності 1 , то зрозуміло, що P може бути змодельований детермінованим алгоритмом. (Див. Вікіпедію для пояснення різниці між "завжди" та "з ймовірністю 1.")
• Якщо ви зробите межі помилок суворими, вимагаючи зупинити P ( M ) і дати правильну відповідь з вірогідністю строго більшою, ніж 1/2 на кожен M (тобто, вам не байдуже, якщо P ( M ) не зупиняється і не зупиняється, і дайте неправильну відповідь у решті випадків), тоді P можна змоделювати детермінованим алгоритмом, використовуючи аргумент, викладений у відповіді Кароліни Солтис .

Тому ймовірнісний алгоритм не може вирішити проблему зупинки детермінованих машин Тьюрінга в цих сенсах.

$P$$P$$P$

Я думаю, що це був сенс коментаря Рафаеля.

$A\subseteq\mathbb N$$A$

де Лев, К., Мур, Е.Ф., Шеннон, С.Є., і Шапіро, Н. Обчислення ймовірнісними машинами, Автоматичні дослідження, с. 183–212. Літописи з математики, вип. 34. Princeton University Press, Прінстон, Нью-Джерсі, 1956.

Г. Сакс, ступінь нерозв'язності, Прінстонський університетський прес, 1963 рік.