Важливий документ від 2003 року від Childs et al.представив "проблему поєднаних дерев": проблему, що визнає експоненціальне квантове прискорення, що не схоже на будь-яку іншу подібну проблему, про яку ми знаємо. У цій проблемі нам дають експоненціально великий графік, подібний до зображеного нижче, який складається з двох повних двійкових дерев глибиною n, листя яких з'єднані між собою випадковим циклом. Ми постачаємо етикетку вершини ENTRANCE. Нас також постачають оракули, які, введені як вхідні позначки будь-якої вершини, повідомляють нам мітки своїх сусідів. Наша мета - знайти вершину EXIT (яку можна легко розпізнати, як єдину вершину ступеня 2 у графіку, відмінну від вершини ENTRANCE). Можна припустити, що мітки є довгими випадковими рядками, так що з величезною ймовірністю,вертекс, відмінний від вершини ENTRANCE, повинен бути наданий оракулом.
Чайлдс та ін. показав, що алгоритм квантової ходьби здатний просто пропустити цей графік і знайти вершину EXIT після кроків poly (n). Навпаки, вони також показали, що будь-який класичний рандомізований алгоритм вимагає кроків exp (n), щоб знайти вершину EXIT з високою ймовірністю. Нижню межу вони заявили як Ω (2 n / 6 ), але я вважаю, що при більш детальному дослідженні їх доказів виходить Ω (2 n / 2 ). Інтуїтивно це пов’язано з тим, що з великою часткою ймовірності випадкова прогулянка на графіку (навіть самозахищена прогулянка тощо) застрягне у величезній середній області на експоненційну кількість часу: будь-який час, коли пішохід почне прямувати до виходу , набагато більша кількість ребер, спрямованих від EXIT, буде діяти як "відштовхуюча сила", яка відштовхує її назад до середини.
Те, як вони формалізували аргумент, полягало в тому, щоб показати, що поки його не відвідують ~ 2 n / 2 вершини, рандомізований алгоритм навіть не знайшов жодного циклу в графіку: індукований підграф, який він бачив досі, є лише деревом, що не дає інформація про те, де може бути вершина EXIT.
Мені цікавіше чітко визначити складність рандомізованих запитів цієї проблеми. Моє запитання таке:
Чи може хто-небудь придумати класичний алгоритм, який знаходить вершину EXIT менш ніж за ~ 2 n кроків --- скажімо, в O (2 n / 2 ) або O (2 2n / 3 )? Як варіант, чи може хтось дати нижню межу кращу, ніж Ω (2 п / 2 )?
(Зауважте, що за парадоксами до дня народження не важко знайти цикли в графіку після кроків O (2 n / 2 ). Питання полягає в тому, чи можна використовувати цикли, щоб отримати будь-які підказки про те, де знаходиться вершина EXIT.)
Якщо хтось може вдосконалити нижню межу минулого Ω (2 п / 2 ), то, наскільки мені відомо, це буде першим доказовим прикладом проблеми чорного поля з експоненціальною квантовою швидкістю, складність рандомізованих запитів більша за isN . (Де N ~ 2 n - розмір проблеми.)
Оновлення: Я дізнався від Ендрю Чайлдса, що в цій примітці Феннер і Чжан явно покращують рандомізовану нижню межу для з'єднаних дерев до Ω (2 п / 3 ). Якби вони були готові прийняти постійну (а не експоненціально малу) ймовірність успіху, я вважаю, що вони могли б покращити цю межу далі до Ω (2 п / 2 ).
