Наявність довгих індукованих шляхів у графах розширення

Скажімо, що сім'я графіків має давно індуковані контури, якщо є постійний такий, що кожен графік в містить індукований шлях на вершини. Мене цікавлять властивості сімейств графіків, які забезпечують існування довгих індукованих шляхів. Зокрема, мені зараз цікаво, чи розширювачі постійного ступеня мають давно індуковані шляхи. Ось що я знаю. ϵ > 0 G F | V ( G ) | $\mathcal{F}$$\epsilon > 0$$G$$\mathcal{F}$$|V(G)|^{\epsilon}$

• Випадкові графіки з постійним середнім ступенем (у моделі Ердоса-Ренія) мають довгі (навіть лінійні розміри) індуковані шляхи з високою ймовірністю; див., наприклад , статтю Суна .
• Графіки розширення унікальних сусідів (як визначено Алоном та Копальбо ) мають великі індуковані дерева . Насправді, будь-яке максимально спричинене дерево є таким графіком.

Враховуючи ці два факти, я б очікував, що розширювачі постійного ступеня мають давно індуковані шляхи. Однак я не зміг знайти жодних конкретних результатів. Будь-які розуміння високо оцінені.

Відповідь має бути позитивною, якщо ваш графік обмеженого ступеня має властивість постійного розширення та обхват . Аргументом буде: почати з вершини, потім для кроків зробити прогулянку, в якій кожен крок вибирається навмання серед тих, хто не повертає нас туди, куди ми були раніше. (Отже, якщо графік -регулярний, ми маємо випадковий вибір на кожному кроці.)$\Omega( \log n)$ d d - $n^\epsilon$$d$$d-1$

Тепер я стверджую, що для кожного та , якщо я дивлюсь на кроки та ходи, ймовірність наявності краю між вершиною на кроці та вершиною на кроці є . Тоді, якщо обраний достатньо малим, зв'язане з'єднання покаже, що прогулянка індукує шлях з вірогідністю . j i j i j n - Ω ( 1 ) ϵ 1 - o ( 1 $i$$j$$i$$j$$i$$j$$n^{-\Omega(1)}$$\epsilon$$1-o(1)$

Якщоменше обхвату, тоді ймовірність ребра між та просто дорівнює нулю. Якщо , то розширення графіка повинно бути достатньо, щоб стверджувати, що існування ребра відбувається з ймовірністю . Це відбувається тому, що для фіксованої стартової вершини розподіл ходи після декількох кроків, рівних діапазону, є рівномірним набором розміру , і тому існує ймовірність зіткненняi j j > i + Ω ( log n ) ( i , j ) n - Ω ( 1 ) v n Ω ( 1 ) n - Ω ( 1 ) n - Ω ( 1 ) O ( 1 ) v n - Ω ( 1 $|i-j|$$i$$j$$j> i+ \Omega(\log n)$$(i,j)$$n^{-\Omega(1)}$$v$$n^{\Omega(1)}$$n^{-\Omega(1)}$; кожен наступний крок повинен лише знижувати ймовірність зіткнення (це справедливо для фактичної випадкової прогулянки, але це має бути правдою і для цієї неотступной прогулянки), і тому ймовірність зіткнення, а отже, і міні-ентропія, розподілу залишається , і ймовірність попадання одного з сусідів також є .$n^{-\Omega(1)}$$O(1)$$v$$n^{-\Omega(1)}$