Чи є ця варіація TQBF ще PSPACE-повною?

Вирішення, чи визначається кількісна булева формула, така як

$\forall x_1 \exists x_2 \forall x_3\cdots \exists x_n \varphi(x_1, x_2,\ldots , x_n),$

завжди оцінюється як істинне - це класична проблема PSPACE-завершена. Це можна розглядати як гру між двома гравцями, з чергуванням ходів. Перший гравець визначає значення істинності змінних із непарними номерами, а другий гравець визначає значення істинності змінних з парним числом. Перший гравець намагається зробити $\varphi$ помилковим, а другий гравець намагається зробити це правдою. Вирішити, хто має виграшну стратегію, є повним PSPACE.

Я розглядаю подібну проблему з двома гравцями, один намагається зробити булеву формулу $\varphi$ істинним, а другий намагається зробити її помилковою. Різниця полягає в тому, що на ходу гравець може вибрати для нього змінну і значення істини (наприклад, як перший крок, гравець може вирішити встановити $x_8$ на істинне, а потім у наступному кроці гравця два можуть вирішити встановити $x_3$ на false). Це означає, що гравці можуть вирішити, якій із змінних (з тих, яким ще не було призначено значення істини), вони хочуть призначити значення істини, замість того, щоб грати в гру в порядку $x_1 , \ldots , x_n$ .

Проблема задається булевою формулою $\varphi$ на $n$ змінних, щоб вирішити, чи гравець один (намагається зробити його помилковим), чи другий гравець (намагається зробити це правдою) має виграшну стратегію. Ця проблема явно зберігається в PSPACE, оскільки дерево ігор має лінійну глибину.

Чи залишається PSPACE завершеним?

Це гра з невпорядкованим задоволенням задоволення, і вона є повною PSPACE, і вона була доведена як PSPACE лише недавно ; доказ можна знайти у:

Лаурі Елрот і Пекка Орпонен, Ігри про незадоволеність обмеженнями . Лекційні записки з інформатики, Том 7464, 2012, с. 64-75.

Анотація:Ми розглядаємо ігри задоволення обмежень для двох гравців в системах булевих обмежень, в яких гравці по черзі вибирають одну з доступних змінних і встановлюють її як істинну або помилкову, з метою максимізації (для гравця I) або мінімізації (для гравця II) кількість задоволених обмежень. На відміну від стандартних ігор із призначенням змінних типу QBF, ми не нав'язуємо порядок, у якому слід відтворювати змінні. Це робить налаштування гри більш природною, але й більш складною для контролю. Ми пропонуємо стратегії наближення поліноміального часу, постійного фактора для гравця I, коли обмеження - це функції парності або порогові функції з порогом, малим порівняно з сукупністю обмежень. Крім того, ми доводимо, що проблема визначення того, чи зможу я програвач виконати всі обмеження, є PSPACE-повною навіть у цій не упорядкованій настройці,

Зі змісту:

$C = \{c_1,...,c_m\}$$X = \{x_1,...,x_n\}$$C$

$C$

... Теорема 4 : Завдання прийняття рішення GBF-здійсненності булевої формули є PSPACE-повній.

EDIT : Даніель Грієр з'ясував, що результат також вирішив Шефер у 70-х, дивіться його відповідь на цій сторінці для ознайомлення (і підтверджуйте це :-). Шефер довів, що гра все ще є повною PSPACE, навіть якщо вона обмежена позитивними формулами CNF (тобто формулами пропозицій у сполученій нормальній формі, в яких не заперечуються змінні), що мають щонайменше 11 змінних у кожному сполученні.

Можливо, варто також зазначити, що ця проблема була також вирішена в 70-х роках Томасом Шефером у  Складність проблем з рішеннями, заснованими на кінцевих іграх з ідеальною інформацією для двох осіб . Насправді він доводить дещо сильніший результат у тому, що мова залишається повноцінною PSPACE, навіть якщо вона обмежена позитивними формулами CNF.

Ми довели, що ця гра є PSPACE-повною для 5-CNF, але має алгоритм Linear Time для 2-CNF. Попередній найкращий результат був 6-CNF Ахрот і Орпонен.

Ви можете знайти доповідь про конференцію на ISAAC 2018 .

Оновлення: 16 листопада 2019 року

Ми довели, що гра відстежується для 3-х CNF під деякими обмеженнями на 3-CNF. Ми також докорінно здогадувались, що цю гру також можна відслідковувати без обмежень щодо 3-CNF. Ви можете знайти початкову версію в ECCC .