Суто теоретично-теоретичне пояснення скорочення від унікальної обкладинки міток до Max-Cut

Я вивчаю унікальну концепцію ігор та знамениту редукцію до Max-Cut з Khot та ін. Зі своїх робіт і в Інтернеті більшість авторів використовують (що мені здається) неявну еквівалентність між скороченням MAX-CUT та побудовою певних тестів для довгих кодів. Через мою власну недостатню ясність щодо цієї еквівалентності я намагаюся слідувати цьому руслі думки.

З цих експозицій також зрозуміло, що скорочення можна було б описати виключно за допомогою графіків, але що за збігом обставин чи уподобань ніхто не вирішує це зробити так. Наприклад, у цих конспектах лекцій О'Доннелла він натякає, що тест з довгим кодом відповідає натуральному визначенню ребер на побудованому графіку, але оскільки це не прописано, це правило, схоже, залежить від вибору розрізу визначити булева функція, що тестується, і це мене досить розгубило.

Тому я прошу, щоб хтось пояснив скорочення "просто" графіком теоретично. Я думаю, що це допоможе мені зрозуміти рівнозначність між двома точками зору.

Дозвольте мені побачити, чи можу я прояснити це на високому рівні. Припустимо, екземпляр UG - це двобічний графік$G = (V \cup W, E)$, біекцій $\{\pi_e\}_{e \in E}$, де $\pi_e\colon \Sigma \to \Sigma$, і $|\Sigma| = m$. Ви хочете побудувати новий графік$H$ так що якщо екземпляр UG є $1-\delta$ задовольняє, значить $H$ має великий розріз, і якщо екземпляр UG не є рівним $\delta$-задовільний, значить $H$ має лише дуже невеликі надрізи.

Графік $H$ містить для кожної вершини в $W$, хмара $2^m$ бали, кожен позначений деякими $x \in \{-1, 1\}^\Sigma$. Намір полягає в тому, що ви повинні мати можливість інтерпретувати довге кодування коду міток$W$ як зріз $H$. Нагадаємо, що кодувати деякі$\sigma \in \Sigma$ з довгим кодом ви використовуєте булева функція $f\colon \{-1, 1\}^\Sigma \to \{-1, 1\}$; зокрема це функція диктатора$f(x) = x_\sigma$. Давайте виготовимо зріз$S\cup T$(тобто дворозділ вершин) з кодування довгого коду наступним чином. Якщо$w \in W$ має мітку, кодовану булевою функцією $f$, перейдіть до хмари вершин у $H$ відповідна $w$, і ввести $S$ всі вершини в хмарі, які позначені деякими $x$ для котрого $f(x) = 1$. Усі інші йдуть на$T$. Це можна зробити назад, щоб призначити булеві функції всім$w \in W$ на основі зрізу $H$.

Для того, щоб скорочення спрацювало, вам потрібно вміти говорити лише дивлячись на значення зрізу$S\cup T$ чи булеві функції, відповідні розрізу, близькі до довгого кодування кодування деякого присвоєння міток $W$ що задовольняє багато обмежень UG $G$. Тож питання полягає в тому, яку інформацію ми отримуємо від значення скорочення$S \cup T$. Розглянемо будь-які дві вершини$a$ з етикеткою $x$ у хмарі, що відповідає $w$ і $b$ з етикеткою $y$ у хмарі, що відповідає $w'$ (у скороченні ми лише дивимось $w$, $w'$у різних хмарах). Ми говорили, що розріз можна використовувати для отримання булевих функцій$f_w$ і $f_{w'}$. Тепер, якщо є край$(a,b)$ в $H$, тоді $(a, b)$ вирізається, якщо і тільки якщо $f_w(x) \neq f_{w'}(y)$. Тому використовувати лише значення розрізу, щоб визначити, чи булові функції, які він викликає, "хороші" - це те саме, що мати тест, який, враховуючи булеві функції$\{f_w\}_{w \in W}$, запитує лише, яка частка якогось певного списку пар $((w, x), (w', y))$ ми маємо $f_w(x) \neq f_{w'}(y)$.

Іншими словами, кожен раз, коли Райан каже в замітках "тест, якщо $f_w(x) \neq f_{w'}(y)$", що він насправді означає" в $H$, додайте край між вершиною у хмарі $w$ позначений від $x$ і вершина в хмарі $w'$ позначений від $y$Тобто для кожного $v\in V$, кожні два її сусіди $w, w'$, і кожен $x,y \in \{-1, 1\}^n$, включіть край між вершинами у хмарі $w$ позначений від $x\circ \pi_{v,w}$ і вершина в хмарі $w'$ позначений від $y \circ \pi_{v,w'}$, і призначте вагу краю $(({1-\rho})/{2})^d(({1+\rho})/{2})^{n-d}$ де $d$ - відстань Хеммінга між $x$ і $y$. Таким чином, величина зрізу, поділена на загальну вагу ребра, точно дорівнює ймовірності успіху тесту.