Що відокремлює легкі глобальні проблеми від жорстких глобальних проблем на графіках обмеженої ширини?

Численні задачі з жорсткими графами вирішуються в поліноміальний час на графах обмеженої ширини . Дійсно, підручники зазвичай використовують, наприклад, незалежний набір, що є локальною проблемою . Приблизно локальна проблема - це проблема, вирішення якої можна перевірити, вивчивши деяке невелике сусідство кожної вершини.

Цікаво, що навіть проблеми (наприклад, гамільтонів шлях) глобального характеру все ще можна ефективно вирішити для обмежених графіків ширини. Для таких проблем звичайні алгоритми динамічного програмування повинні відслідковувати всі шляхи, через які рішення може пройти відповідний роздільник розкладання дерева (див., Наприклад, [1]). Рандомізовані алгоритми (засновані на так званому cut'n'count) були наведені в [1], а вдосконалені (навіть детерміновані) алгоритми були розроблені в [2].

Я не знаю, чи справедливо сказати, що багато, але принаймні деякі глобальні проблеми можна ефективно вирішити для графіків обмеженої ширини. То як бути з проблемами, які залишаються важкими для таких графіків? Я припускаю, що вони також мають глобальний характер, але що ще? Що відрізняє ці важкі глобальні проблеми від глобальних проблем, які можна ефективно вирішити? Наприклад, як і чому відомі методи не дають нам ефективних алгоритмів?

Наприклад, можна розглянути таку проблему:

Край precoloring розширення для графа з деякими краями кольорових, вирішити , якщо ця забарвлення може бути розширена до належного -Верстати-розмальовка графа .$G$$k$$G$

Розширення до попереднього фарбування краю (та його колірного варіанту фарбування краю списку) є NP-повним для двопартійних послідовно-паралельних графіків [3] (такі графіки мають ширину ширини не більше 2).

Забарвлення мінімальної суми краю. З огляду на графік , знайдіть забарвлення краю \ chi: E \ to \ mathbb {N} таким чином, що якщо e_1 та e_2 мають спільну вершину, то \ chi (e_1) \ neq \ chi (e_2) . Мета - мінімізувати E '_ \ chi (E) = \ sum_ {e \ в E} \ chi (e) , суму забарвлення.$G=(V,E)$$\chi : E \to \mathbb{N}$$e_1$$e_2$$\chi(e_1) \neq \chi(e_2)$$E'_\chi(E) = \sum_{e \in E} \chi(e)$

Іншими словами, ми повинні присвоїти додатні цілі числа ребрам графа таким чином, щоб суміжні ребра отримували різні цілі числа, а сума присвоєних чисел мінімальна. Ця проблема є важкою для NP для часткових 2 дерев [4] (тобто графіки широти ширини не більше 2).

Інші такі важкі проблеми включають в себе проблему крайових роз'єднаних шляхів, проблему ізоморфізму підграфа та проблему пропускної здатності (див., Наприклад, [5] та посилання на них). Про проблеми, які залишаються важкими навіть на деревах, див. Це питання .

[1] Cygan, M., Nederlof, J., Pilipczuk, M., van Rooij, JM, & Wojtaszczyk, JO (2011, October). Розв’язання задач на з'єднання, параметризованих по широкій ширині за один експоненційний час. In Foundation of Computer Science (FOCS), 2011 IEEE 52-й щорічний симпозіум (с. 150-159). IEEE.

[2] Bodlaender, HL, Cygan, M., Kratsch, S., & Nederlof, J. (2013). Детерміновані єдині експоненціальні алгоритми часу для задач зв’язку, параметризованих по ширині. В автоматах, мовах та програмуванні (с. 196-207). Спрингер Берлін Гейдельберг.

[3] Маркс, Д. (2005). NP-повнота списку забарвлення та розширення попереднього забарвлення на краях плоских графіків. Журнал теорії графіків, 49 (4), 313-324.

[4] Маркс, Д. (2009). Результати складності для фарбування мінімальної суми краю. Дискретна прикладна математика, 157 (5), 1034-1045.

[5] Nishizeki, T., Vygen, J., & Zhou, X. (2001). Проблема крайових неперервних шляхів є NP-повною для рядів-паралельних графіків. Дискретна прикладна математика, 115 (1), 177-186.

Більшість алгоритмів для графіків обмеженої широти ширини засновані на певній формі динамічного програмування. Щоб ці алгоритми були ефективними, нам потрібно обмежити кількість станів в таблиці динамічного програмування: якщо ви хочете алгоритм поліноміального часу, тоді вам потрібно поліноміальне число станів (наприклад, n ^ tw), якщо ви хочете покажіть, що проблема FPT, ви зазвичай хочете показати, що кількість станів є деякою функцією широкої ширини. Кількість станів, як правило, відповідає кількості різних типів часткових рішень при розбитті графіка на деякому невеликому сепараторі. Таким чином, проблема на графіках з обмеженою шириною ширини є звичайною, оскільки часткові рішення, що взаємодіють із зовнішнім світом через обмежене число вершин, мають лише обмежене число типів. Наприклад, у задачі незалежної множини тип часткового рішення залежить лише від того, які граничні вершини обрані. У задачі про цикл Гамільтонів тип часткового рішення описується тим, як підпуть часткового розчину співпадає між вершинами кордону один до одного. Варіанти теореми Курсерлла дають достатні умови, щоб проблема мала властивість, що часткові рішення мають лише обмежене число типів.

Якщо проблема є складною на графіках з обмеженою шириною, зазвичай, це пов’язано з однією з наступних трьох причин.

1. Існують взаємодії в проблемі, не захопленій графіком. Наприклад, Steiner Forest є NP-жорстким для графіків широкої ширини 3, інтуїтивно, тому що пара джерел-призначення створює взаємодію між непомітними вершинами.

Елізабет Гасснер: Лісова проблема Штайнера переглянута. Дж. Дискретні алгоритми 8 (2): 154-163 (2010)

MohammadHossein Bateni, Mohammad Taghi Hajiaghayi, Dániel Marx: Схеми апроксимації лісу Штайнера на плоских графіках та графіках обмеженої ширини. J. ACM 58 (5): 21 (2011)

2. Задача визначена на краях графіка. Тоді навіть якщо частина графа приєднана до решти графа через обмежену кількість вершин, може виникнути багато ребер, що трапляються на ці кілька вершин, і тоді стан часткового рішення можна описати лише описом стану всі ці краї. Саме це ускладнило проблеми [3,4].

3. Кожна вершина може мати велику кількість різних станів. Наприклад, Capacited Vertex Cover - W [1] -твердий, параметризований по ширині, інтуїтивно зрозумілим, тому що опис часткового рішення включає не тільки вказівку, які вершини сепаратора були обрані, але і вказуючи, скільки разів кожна обрана вершина роздільника була використовується для покриття країв.

Майкл Дом, Даніель Локштанов, Сакет Саурабх, Інгве Віллангер: Здібне домінування та охоплення: параметризована перспектива. IWPEC 2008: 78-90

Моя пропозиція полягає в тому, щоб уважно подивитися на теорему Courcelle , що проблеми, виражені в (певних розширеннях) монадичної логіки другого порядку, мають алгоритми FPT при параметризації по ширині ширини. Я підозрюю, що це охоплює багато або більшість відомих прикладів проблем FPT для цих графіків. На цей погляд, ваша локальна / глобальна відмінність, здається, тісно пов'язана з відмінністю між проблемами, вираженими в екзистенціальному MSO, і проблемами, які мають більш високий рівень кількісної оцінки у своїх формулюваннях MSO. Якщо повернутися до свого актуального питання, відсутність формулювання МСО (що можна беззастережно довести у багатьох випадках з використанням ідей, пов’язаних із теоремою Міхілла-Нерода ) було б свідченням відсутності алгоритму FPT (важче довести без складності теоретичних припущень).

Я думаю, що одним із таких прикладів є проблема найрідкісного скорочення. Уніфікована проблема з найрізкішим вирізанням вирішується на графах обмеженої ширини дерева, але зважена проблема з найрізкішим зрізом навіть не є приблизною (краще 17/16) у графіках обмеженої ширини дерев.

Існує безліч різних варіантів найрідкіснішої проблеми, але одна з добре відомих полягає в наступному.

$G=(V,E)$$w:E(G)\rightarrow N$$E(S,V\setminus S) \subseteq E(G)$$S \subset V$$\frac{W(E(S,V\setminus S))}{|S||V\setminus S|}$$E'\subseteq E(G)$$W(E')=\sum_{e\in E'}w(e)$

Основний інгредієнт складається з двох речей:

1. Додаткові функції, як тут функція ваги. Але все ж є деякі проблеми з функцією ваги, які не дуже важкі в непрямому графіку обмеженої ширини дерева.

2. Характер найрідкіснішої проблеми. Власне існування більше однієї залежності для динамічного програмування у визначенні проблеми. Інтуїтивно хорошим рішенням є те, що ми розділимо графік (видаливши кілька ребер) на два майже однакових розміру, з іншого боку, у цьому розділі ми видалимо якнайменшу кількість ребер, які ми використовуємо. Причина, що в обмеженій графіці широкої ширини є проблема, полягає в тому, що ми повинні застосовувати динамічне програмування у двох напрямках, але обидва напрямки залежать один від одного.

Взагалі, якщо проблема полягає в такій формі, яка потребує більше одного виміру для динамічного програмування, а також ці розміри залежать один від одного, то проблема може бути важкою для графіків обмеженої ширини дерева. Цю закономірність ми можемо побачити як в проблемі, що йдеться у запитанні, так і в проблемі з найменшими розрізаннями. (У першій проблемі ми хочемо зберегти попереднє забарвлення, а з іншого - зберегти забарвлення якомога менше, у другій проблемі очевидно є дві функції, які залежать одна від одної)