Коли многочлен GI має на увазі поліноміальний (ребровий) кольоровий GI?

Перехресне від МО .

Ізоморфізм кольорового графіка (край) кольоровий графік - це GI, який зберігає кольори (ребер, якщо він є кольоровим краєм).

Існує кілька скорочень за допомогою перетворень / гаджетів (крайових) кольорових GI в GI. Для кращого кольорового GI найпростішим є заміна кольорового краю на GI, що зберігає гаджет, що кодує колір (достатній раз підрозділення краю є найпростішим випадком). Для GI кольорових вершин додайте до вершини якийсь гаджет.

Нехай GI поліноміальний для деякого графа класу . $C$

Q1 Для якого многочлена GI мається на увазі поліном (ребро) кольоровий GI? $C$

Використання редукції пристроїв може вдіяти не графіки , які перебувають в групі . $C$

З іншого боку, певні гаджети / перетворення можуть зробити графіки членами якогось іншого поліноміального класу GI.

Приклад зменшення кольорового краю . $G \to G'$

Складіть клітку . Кольорові ребра в з а не-краю з . Саме функція забарвлення зберігає а для відновлення з просто візьміть краю кольоровими . - це кліка, кограф, графік перестановки і майже впевнений у багатьох інших хороших класах. Підрозділення країв непарної кількості разів (виразний на видаляє кольори та робить досконалий двосторонній графік, зберігаючи ізоморфізм). $V(G)$ $E(G)$ $1$ $0$ $G$ $G$ $G'$ $1$ $G'$ $0,1$ $G'$

Можливо, ще один підхід полягає в тому, щоб взяти лінійний графік і додати підвісні (універсальні) вершини, з'єднані з вершинами, що відповідають . $G'$ $E(G')$

Q2 Чи є приємні гаджети / перетворення для подібних конструкцій?

Думав про планування шляхом вибору деякого універсального малюнка кліки та заміни перетину країв площинними гаджетами, що зберігають кольори, наприклад, для рівних кольорів та щось інше для різних кольорів. Не знаю, чи зберігає це ізоморфізм. $G'$ $C_4,C_6$

Інший можливий підхід може бути автоматизмом, що зберігає забарвлення або підрозділяє кожне ребро , використовуйте 3 кольори для вершин і спробуйте розпізнати самодоповнюючі графіки за допомогою автоморфізму обмін і . $K_n$ ${0,1,2}$ $V(G),E(G),E(\overline{G})$ $E(G)$ $E(\overline{G})$

Q3 Чи може підлягати обчислення група автоморфізмів підрозділу ? $K_n$

Замовлення після кількох початкових умов - що є A052565 $12 , 24 , 120 , 720 , 5040 , 40320 , 362880$

Діма припускає, що це може бути досить просто для великих, а початкові умови - винятки. $n$

Q4 Враховуючи кольоровий підрозділ вершини на та його групу автоморфізму, де вершини високого ступеня кольорові , деякі ступеня дорівнюють а інші - , яка складність у пошуку автоморфізму, що обмінюється та ? $K_n$ $n > 4$ $0$ $2$ $1$ $2$ $1$ $2$

Додано документ про розпізнавання графіків Кейлі на стр. 86 заяв:

Враховуючи графіки класу C Кейлі та заданий граф кольорового регламенту G з n вершин і m країв, нас цікавить проблема перевірки існування ізоморфізму φ із збереженням кольорів таким, що G ізоморфний φ графіком в С пофарбований елементами його генеруючого набору. У цій роботі ми даємо алгоритм O (m log n) -time, щоб перевірити, чи G кольорово-ізоморфний графіку Кейлі.

Це виглядає близько до питання, чи це актуально?

graph-theory graph-isomorphism automorphism

— жоро
джерело

Є зв’язок з гіперграфами. Кольоровий край (u, v, c) може трактуватися як гіперпередача, а до графіку є гіперграфічний скорочення.

— Жоро

Відповіді:

Q2: чудовим прикладом є гаджет для маркування графіків, який використовується для доведення, що:

Теорема : Плоский 3-з'єднаний кольоровий GI планарний 3-з'єднаний GI $\leq_T^L$

Див. Томас Тірауф, Фабіан Вагнер: Проблема ізоморфізму для планарних 3-з'єднаних графіків знаходиться в однозначному просторі журналів. Теорія обчислень. Сист. 47 (3): 655–673 (2010)

Використовуваний "гаджет для маркування" зберігає обмеженість у 3-зв'язаності та планарності.

— Марціо Де Біасі
джерело

Дякую. А як щодо інших питань?

— joro

@joro: я подумаю про Q3, Q4; для Q1 я думаю, що - можливо - цікавіше запитати "Для якого C многочлен GI не означає (або невідомо, якщо він має на увазі ...) поліном (ребро) кольоровий GI?" (тому що для багатьох класів графіків, для яких GI є вирішеним у поліномі за часом, проста маркування вершин / ребер не виводить графіки з

)

C

$\mathcal{C}$

— Marzio De Biasi

Re Q1: якщо вам здається цікавим питання, задайте його. Або, можливо, відредагуйте це запитання за допомогою Q1.1, призначеного вам. Деякі думки під час пива :). (край) кольоровий графік мені тривіально видається гіперграфом. HGI настільки ж простий, як GI за рахунок зменшення IIRC. Деякі випадки обмежених автоморфізмів є NP-повними, а деякі - поліномами IIRC.

— joro

Додано документ у запитання, яке може бути актуальним.

— Жоро

Часткова відповідь, недостатньо зрозуміла теорія групи, але, як видається, два документи дають часткові результати.

$G \to G'$

$V(G)$ $e \in E(G')$ $1$ $e \in E(G)$ $0$ $G$ $G'$ $1$

$G \cong H \iff G' \cong H'$

$G'$

У цьому документі стверджується:

$O(n^2 (\log n)^6 )$ $n$

Точне визначення "крайового кольору" мені незрозуміле.

Паперовий циркулятор GI є поліномом у виносці на п.1 формули:

Під графіком ми маємо на увазі звичайний графік, диграф або навіть крайовий кольоровий графік

На запитання МО, які обмеження стосуються забарвлення.

— жоро
джерело