Для випадкового оракула R, чи відповідає BPP набору обчислюваних мов у P ^ R?

Ну, заголовок майже все це говорить. Цікаве питання, яке було задано вище, запитав коментер Джей у своєму блозі (дивіться тут і тут ). Я здогадуюсь і те, що відповідь "так", і що існує досить просте доказ, але я не міг це побачити з очей. (Дуже приблизно, можна спробувати показати, що якби мова в не була в B P P , вона повинна мати нескінченну алгоритмічну взаємну інформацію з R , і в цьому випадку вона не була б обчислюваною. Також зверніть увагу що один напрямок тривіальний: обчислювані мови в P R, безумовно, містять B P P. )$P^R$$BPP$$R$$P^R$ $BPP$

Зауважте, що я не запитую про клас « майжеP» , який складається з тих мов, які є в майже для кожного R (і добре відомий рівним B P P ). У цьому питанні ми спочатку виправити R , а потім подивитися на безлічі обчислюваних мов в P R . З іншого боку, можна було б спробувати , щоб показати , що, якщо мова в P R вирахує, навіть для фіксованого випадкового оракула R , то насправді , що мова повинна бути в А л м про з т р .$P^R$$R$$BPP$$R$$P^R$$P^R$$R$$AlmostP$

Тісно пов'язаний з питанням , чи є, з ймовірністю 1 над випадковим оракулом , ми маємо$R$

$AM = NP^R \cap Computable.$

Якщо так, то ми отримуємо наступний цікавий наслідок: якщо , то при ймовірності 1 над випадковим оракулом R єдиними мовами, які є свідками поділу оракула P R ≠ N P R, є нерозбірливі мови.$P=NP$$R$$P^R \ne NP^R$

Так.

По-перше, оскільки мені знадобилося хвилину, щоб я сам це зрозумів, дозвольте мені формалізувати різницю між вашим запитанням та ; це порядок кількісних показників. A l m o s t P : = { L : P r R ( L ∈ P R ) = 1 } , і результат, на який ви натякаєте, ∀ $\mathsf{AlmostP}$$\mathsf{AlmostP} := \{L : Pr_R(L \in \mathsf{P}^R) = 1\}$ . Якщо я правильно зрозумів, ви запитаєте, чи P r R ( ∀ $\forall L\, L \in \mathsf{BPP} \iff Pr_R(L \in \mathsf{P}^R) = 1$ .$Pr_R(\forall L\, L \in \mathsf{P}^R \cap \mathsf{COMP} \iff L \in \mathsf{BPP}) = Pr_R(\mathsf{P}^R \cap \mathsf{COMP} = \mathsf{BPP}) = 1$

Розглянемо

.$p := 1-Pr_R(\mathsf{P}^R\cap \mathsf{COMP} = \mathsf{BPP}) = Pr_R(\exists L \in \mathsf{P}^R \cap \mathsf{COMP} \backslash \mathsf{BPP})$

Союз пов'язаний, то буде обмежений зверху Σ L ∈ З Про М Р Р г R ( L ∈ P R ∖ Б Р Р ) . (Зверніть увагу, що остання сума піддається підрахунку.) Тепер, згідно із законом 0-1 - який застосовується, оскільки всі відповідні твердження не змінюються, якщо ми змінимо R кінцево сильно - кожна окрема ймовірність у цій сумі дорівнює 0 або 1. Якщо відповідь на ваше запитання - ні, тоді p = 1 , тому має бути деякий L ∈ C O M P такий$p$$\sum_{L \in \mathsf{COMP}} Pr_R(L \in \mathsf{P}^R \backslash \mathsf{BPP})$$R$$p=1$$L \in \mathsf{COMP}$ . Але це суперечить томущо л м про з т Р = В Р Р .$Pr_R(L \in \mathsf{P}^R \backslash \mathsf{BPP}) = 1$$\mathsf{AlmostP} = \mathsf{BPP}$

Оновлення 10 жовтня 2014 : Як було відзначено в коментарі Еміль Jeřábek, той же аргумент відноситься до проти N P R , так як ми знаємо , що л м про з т N P = M .$\mathsf{AM}$$\mathsf{NP}^R$$\mathsf{AlmostNP} = \mathsf{AM}$

Він також вказує, що ми не використовували нічого про крім того, що це лічильний клас, який містить B P P (відповідно, A M ). Отже, "цікавий висновок" в OQ насправді застосовується до будь-якого рахункового класу мов C, який містить A M : якщо P = N P , "єдині" мови, які свідчать про поділ оракул P R ≠ N P R, знаходяться поза $\mathsf{COMP}$$\mathsf{BPP}$$\mathsf{AM}$$\mathcal{C}$$\mathsf{AM}$$\mathsf{P} = \mathsf{NP}$$\mathsf{P}^R \neq \mathsf{NP}^R$$\mathcal{C}$. Але останнє твердження здається мені дещо введеним в оману (це виглядає так, що для будь-якого ми могли б вважати C = A M ∪ { L 0 } і тим самим "показувати", що жоден L 0 не реалізує N P R ≠ P R , суперечить загальновідомій теоремі). Швидше, записуючи це символічно, ми показали:$L_0$$\mathcal{C} = \mathsf{AM} \cup \{L_0\}$ $L_0$$\mathsf{NP}^R \neq \mathsf{P}^R$

Якщо , то ∀ підрахунок  C ⊇ A $\mathsf{P} = \mathsf{NP}$$\forall \text{countable } \mathcal{C} \supseteq \mathsf{AM}\, Pr_R(\mathsf{NP}^R \neq \mathsf{P}^R \text{ and } \mathsf{NP}^R \cap \mathcal{C} = \mathsf{P}^R \cap \mathcal{C}) = 1$.

Note that, crucially, probability 1 is not the same thing as all $R$, and which full-measure set of $R$ satisfy the argument to $Pr_R$ can depend on $\mathcal{C}$. So if we try to alter $\mathcal{C}$ to $\mathcal{C} \cup \{L_0\}$, it at most removes a measure 0 set of $R$ that satisfy this statement.

Хоча порядок кількісних показників між тим, що ви запитуєте, і майже P різняться, не надто важко показати, що вони рівнозначні. По-перше, для будь-якого фіксованого L, питання про те, чи залежить L \ у P ^ O, не залежить від жодного кінцевого початкового відрізка O. випливає, що ймовірність того, що L \ в P ^ R, є або 0, або 1. З майже - P результат, для кожного обчислюваного L, який не знаходиться в BPP, відповідь дорівнює 0, тоді як якщо L \ у BPP, ймовірність дорівнює 1. Оскільки обчислювальної кількості L обчислювально багато, ми можемо зробити зв'язане об'єднання; обчислювальне об'єднання ймовірності 0 множин має ймовірність 0. Таким чином, ймовірність того, що існує будь-який обчислюваний L, який не є в BPP, але знаходиться в P ^ R, дорівнює 0, як і ймовірність того, що мова є в BPP не в P ^ R,