Для випадкового оракула R, чи відповідає BPP набору обчислюваних мов у P ^ R?


18

Ну, заголовок майже все це говорить. Цікаве питання, яке було задано вище, запитав коментер Джей у своєму блозі (дивіться тут і тут ). Я здогадуюсь і те, що відповідь "так", і що існує досить просте доказ, але я не міг це побачити з очей. (Дуже приблизно, можна спробувати показати, що якби мова в не була в B P P , вона повинна мати нескінченну алгоритмічну взаємну інформацію з R , і в цьому випадку вона не була б обчислюваною. Також зверніть увагу що один напрямок тривіальний: обчислювані мови в P R, безумовно, містять B P P. )PRBPPRPR BPP

Зауважте, що я не запитую про клас « майжеP» , який складається з тих мов, які є в майже для кожного R (і добре відомий рівним B P P ). У цьому питанні ми спочатку виправити R , а потім подивитися на безлічі обчислюваних мов в P R . З іншого боку, можна було б спробувати , щоб показати , що, якщо мова в P R вирахує, навіть для фіксованого випадкового оракула R , то насправді , що мова повинна бути в А л м про з т р .PRRBPPRPRPRRAlmostP

Тісно пов'язаний з питанням , чи є, з ймовірністю 1 над випадковим оракулом , ми маємоR

AM=NPRComputable.

Якщо так, то ми отримуємо наступний цікавий наслідок: якщо , то при ймовірності 1 над випадковим оракулом R єдиними мовами, які є свідками поділу оракула P RN P R, є нерозбірливі мови.P=NPRPRNPR


Відповіді:


16

Так.

По-перше, оскільки мені знадобилося хвилину, щоб я сам це зрозумів, дозвольте мені формалізувати різницю між вашим запитанням та ; це порядок кількісних показників. A l m o s t P : = { L : P r R ( L P R ) = 1 } , і результат, на який ви натякаєте, LAlmostPAlmostP:={L:PrR(LPR)=1} . Якщо я правильно зрозумів, ви запитаєте, чи P r R ( LLLBPPPrR(LPR)=1 .PrR(LLPRCOMPLBPP)=PrR(PRCOMP=BPP)=1

Розглянемо

.p:=1PrR(PRCOMP=BPP)=PrR(LPRCOMPBPP)

Союз пов'язаний, то буде обмежений зверху Σ L З Про М Р Р г R ( L P RБ Р Р ) . (Зверніть увагу, що остання сума піддається підрахунку.) Тепер, згідно із законом 0-1 - який застосовується, оскільки всі відповідні твердження не змінюються, якщо ми змінимо R кінцево сильно - кожна окрема ймовірність у цій сумі дорівнює 0 або 1. Якщо відповідь на ваше запитання - ні, тоді p = 1 , тому має бути деякий L C O M P такийpLCOMPPrR(LPRBPP)Rp=1LCOMP . Але це суперечить томущо л м про з т Р = В Р Р .PrR(LPRBPP)=1AlmostP=BPP

Оновлення 10 жовтня 2014 : Як було відзначено в коментарі Еміль Jeřábek, той же аргумент відноситься до проти N P R , так як ми знаємо , що л м про з т N P = M .AMNPRAlmostNP=AM

Він також вказує, що ми не використовували нічого про крім того, що це лічильний клас, який містить B P P (відповідно, A M ). Отже, "цікавий висновок" в OQ насправді застосовується до будь-якого рахункового класу мов C, який містить A M : якщо P = N P , "єдині" мови, які свідчать про поділ оракул P RN P R, знаходяться поза CCOMPBPPAMCAMP=NPPRNPRC. Але останнє твердження здається мені дещо введеним в оману (це виглядає так, що для будь-якого ми могли б вважати C = A M{ L 0 } і тим самим "показувати", що жоден L 0 не реалізує N P RP R , суперечить загальновідомій теоремі). Швидше, записуючи це символічно, ми показали:L0C=AM{L0} L0NPRPR

Якщо , то підрахунок  CA MP=NPcountable CAMPrR(NPRPR and NPRC=PRC)=1.

Note that, crucially, probability 1 is not the same thing as all R, and which full-measure set of R satisfy the argument to PrR can depend on C. So if we try to alter C to C{L0}, it at most removes a measure 0 set of R that satisfy this statement.


5
Цей же аргумент стосується і AM проти NP ^ R. Крім того, обчислюваність насправді не має значення. Єдиною властивістю обчислювальних мов, що використовуються у доказуванні, є те, що їх існує дуже багато.
Еміль Йерабек підтримує Моніку

7

Хоча порядок кількісних показників між тим, що ви запитуєте, і майже P різняться, не надто важко показати, що вони рівнозначні. По-перше, для будь-якого фіксованого L, питання про те, чи залежить L \ у P ^ O, не залежить від жодного кінцевого початкового відрізка O. випливає, що ймовірність того, що L \ в P ^ R, є або 0, або 1. З майже - P результат, для кожного обчислюваного L, який не знаходиться в BPP, відповідь дорівнює 0, тоді як якщо L \ у BPP, ймовірність дорівнює 1. Оскільки обчислювальної кількості L обчислювально багато, ми можемо зробити зв'язане об'єднання; обчислювальне об'єднання ймовірності 0 множин має ймовірність 0. Таким чином, ймовірність того, що існує будь-який обчислюваний L, який не є в BPP, але знаходиться в P ^ R, дорівнює 0, як і ймовірність того, що мова є в BPP не в P ^ R,

Використовуючи наш веб-сайт, ви визнаєте, що прочитали та зрозуміли наші Політику щодо файлів cookie та Політику конфіденційності.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.