Соціальний вибір, теорема стрілки та відкриті проблеми?

Останні кілька місяців я почав читати лекції про соціальний вибір, теорему стрілки та пов'язані з нею результати.

Прочитавши результати семінарії, я запитав себе про те, що відбувається з частковими уподобаннями, відповідь - у статті Pini et al. : Агрегація частково упорядкованих уподобань: неможливість та результати . Потім я задумався, чи можна знайти характеристику допустимих функцій соціального вибору. І знову хтось це зробив ( Повна характеристика функцій, що задовольняють умови теореми Стрілки Мосселем і Тамузом). Я не приведу повного списку, але будь-яку проблему, пов’язану із соціальним вибором, я можу придумати, де все вирішено за останні 5 років :(

Отже, чи знаєте ви, чи існує опитування щодо того, що було зроблено нещодавно на місцях, а що не було?

Інше питання: чи знаєте ви про складність та проблеми, пов'язані із соціальним вибором (наприклад, складність пошуку найбільшого підмножини користувачів, сумісних принаймні з однією функцією соціального вибору, або подібного роду питань).

Ваше запитання дуже приурочене, тому що в останньому номері CACM є стаття, яка робить саме це: http://cacm.acm.org/magazines/2010/11/100640-using-complexity-to-protect-elections / повний текст

Коротше кажучи, багато роботи Конітзера, Тові та інших над реальною твердістю, як в гіршому випадку, так і з припущеннями розподілу, над розламуванням механізмів голосування, які, в принципі, зламані через теорему Ерроу.

Існує багато питань складності, які пов'язані з багатьма темами, що виникають у тому, що стало називатися теорією соціального вибору. Сюди входить складність вирішення того, хто є переможцем, коли певний метод використовується для об'єднання бюлетенів певного типу у вибір для суспільства. Існують також питання складності, пов'язані з пошуком способу голосування стратегічно (а не з використанням справжніх переваг), коли може бути доступною інформація про інші переваги виборця, коли певний метод використовується в надії на кращий результат для конкретної людини або група людей. Складність також виникає при розробці "безпечних" систем голосування на лінії.

Це величезна література про соціальний вибір, але кілька хороших книг, щоб розпочати для зацікавлених:

Дональд Саари, рішення та вибори, Кембридж У. Прес, 2001.

Дональд Саарі, розпорядження диктаторів, демістифікація парадоксів голосування, Кембридж У. Прес, 2008.

Алан Тейлор, Соціальний вибір та математика маніпуляції, Кембридж U. Press, 2005.

Останнім часом було багато розробок щодо обчислювальних аспектів соціального вибору. Наступний веб-сайт дає багато покажчиків відповідної літератури:

http://www.illc.uva.nl/COMSOC/

Теорема Ерроу - класична теорема. Пошук відкритої проблеми нелегкий для теоретиків соціального вибору (або принаймні для мене).

Моя загальна порада для студентів, які вивчають економіку, полягає в тому, щоб "не відходити від теореми, якщо ви не можете пов'язати свій внесок з деякими останніми ідеями (наприклад, аксіомами, запропонованими нещодавно, рішеннями, які були вивчені трохи, і поведінкові припущення в моді) Постарайтеся знайти проблему, не пов'язану з теоремою Ерроу. Таких проблем існує навіть у теорії соціального вибору ". Лише після того, як ви отримаєте загальне уявлення про те, яку проблему ви хочете вирішити, перегляньте Посібник із соціального вибору та добробуту .

Обчислювальні питання можуть бути однією з таких «останніх» ідей. Хоча дослідження складності (правил, маніпуляцій, рішення) тощо є головним питанням комп'ютерних науковців (як це пропонують інші), існують вихідні документи (такі як Mihara, 1997, теорема Ерроу і обчислюваність Тюрінга) , Економічна теорія 10: 257-276), яка вивчає (фундаментальну?) Проблему обчислення в рамках Ерроу. ;-)

Дозвольте прокоментувати дві запропоновані вами проблеми.

1. Я не впевнений, чи нехтують теоретики соціального вибору розглядати часткові замовлення. Якщо вони це зробили, вони зробили це, ймовірно, тому, що "пристрастість" може бути виражена суворими уподобаннями (як у нас у Кумабе та Міхари, теорія агрегації переваг без ациклічності: ядро ​​без невдоволення більшості, ігри та економічна поведінка , в пресі). (У такому випадку краще забути слабку перевагу R або визначити її по-іншому [так вона не стане повною]: Визначивши xRy [x слабко віддається перевазі y] iff не yPx [не y віддається перевагу x], маємо P асиметричний iff R завершено !)

2. Деякі автори це не так, але, мабуть, більшість теоретиків соціального вибору досить уважні, щоб не стверджувати, що будь-яка диктаторна функція соціального забезпечення задовольняє IIA. Наприклад, я кажу (Mihara, 1997), що в межах функцій соціального забезпечення, що задовольняють IIA , правило є диктаторським, якщо воно задовольняє певній умові. Тож вони знали, що проблема є відкритою, але, ймовірно, не зацікавлена ​​в подальшому класифікації диктаторських функцій. (Можливо, Моссел та Тамуз можуть коментувати помилку Армстронга, яку цитує Міхара. Це визначає послідовність диктаторів чи ультрафільтрів.) Це говорить про іншу дослідницьку стратегію (яку я не можу рекомендувати): спробуйте знайти проблему, нецікаву теоретикам соціального вибору.