Арифметичні схеми із лише одним порогом

При обмеженні на $0$ - $1$ входів, кожен $\{+,\times\}$ -circuit $F(x_1,\ldots,x_n)$ обчислює деяку функцію $F:\{0,1\}^n\to \mathbb{N}$ . Щоб отримати булеву функцію, ми можемо просто додати один поріг порогу фанін-1 як вихідний затвор. На вході $a\in\{0,1\}^n$ отриманий поріг $\{+,\times\}$ -схематоді виводить$1$ якщо$F(a)\geq t$ , і виводить$0$ якщо$F(a)\leq t-1$ ; поріг$t=t_n$ може бути будь-яким натуральним числом, яке може залежати від$n$ але не від вхідних значень. Отриманий контур обчислює деяку (монотонну)булевуфункцію $F':\{0,1\}^n\to \{0,1\}$ .

Питання: Чи може чи поріг $\{+,\times\}$ - схеми ефективно моделюються $\{\lor,\land\}$ - схеми?

Під "ефективно" я маю на увазі "з максимальним поліноміальним збільшенням розміру". Відповідь чітка "так" для порогу $t=1$ : просто замініть $+$ на $\lor$ , $\times$ на $\land$ і видаліть останній поріг порогу. Тобто $\{\lor,\land\}$ -схеми насправді є порогом- $1$ $\{+,\times\}$ -схеми. А як щодо більших порогів, скажімо, $t=2$ ?

Можна визначити арифметичні аналоги $\#C$ більшості булевих схем $C$ , просто використовуючи $+$ замість АБО, $\times$ замість І і $1-x_i$ замість $\bar{x}_i$ . Наприклад, схеми $\#AC^0$ це $\{+,\times\}$ -схеми постійної глибини з необмеженими воротами фаніну $+$ і $\times$ , а входи $x_i$ та $1-x_i$ . Аграваль, Аллендер і Датта показали, що поріг $\#AC^0$ = $TC^0$ . (Нагадаємо, що $AC^0$ є власне підмножиною $TC^0$ ; візьмемо, скажімо, функцію більшості.) Іншими словами, порогові ланцюги постійної глибини можуть бути ефективно змодельовані постійною глибиною $\{+,-,\times\}$ - схеми, з єдиним порогом воріт! Зауважте, що моє запитання стосується монотонних схем (немає мінусу " $-$ " як ворота, і навіть немає $1-x_i$ як входи). Чи може один із останніх порогових воріт також бути настільки потужним? Я не знаю цього матеріалу, тому будь-які пов'язані покажчики вітаються.

Примітка. Є ще один цікавий пов'язаний результат завдяки Арнольду Розенблому: $\{+,\times\}$ -схеми з лише однією монотонною функцією $g:\mathbb{N}^2\to\{0,1\}$ оскільки вихідний затвор може обчислити кожну функцію зрізу за допомогою $O(n)$ воріт. Функція зрізу - це монотонна булева функція, яка для деяких фіксованих $k$ видає $0$ (відповідно $1$ ) на всі входи з меншим (відповідно, більше), ніж $k$ті. З іншого боку, просте підрахунок показує, що для більшості функцій зрізів потрібні загальні $\{\lor,\land,\neg\}$ схеми експоненціального розміру. Таким чином, один «невинний» додатковий вихідний затвор може зробити монотонні схеми всемогутними! У моєму запитанні виникає питання, чи може це статися, коли $g:\mathbb{N}\to\{0,1\}$ - це поріг порогу вентилятора- $1$ .

Зазвичай у додатках працюють лише великі пороги: зазвичай нам потрібні пороги форми для ϵ > 0 . Скажімо, якщо F : { 0 , 1 } п → N підраховує число х - т шляху в графі , зазначену 0 - 1 вхід, то для т = м м 2 з м ≈ п 1 / 3 , ті безпорогова т версія F вирішує$2^{n^{\epsilon}}$$\epsilon > 0$$F:\{0,1\}^n\to \mathbb{N}$ $s$$t$$0$$1$$t=m^{m^2}$$m\approx n^{1/3}$$t$$F$ наявність проблеми гамільтонівського - t на графіках m -верхів (див., наприклад, тут ). $s$$t$$m$

(Додано 14.11.2014): Оскільки Еміль відповів на велику частину мого запитання, а оскільки випадку експоненціальних порогів не видно, я зараз приймаю цю (дуже приємну) відповідь.

Відповідь "так", якщо . Більш загально, поріг { + , ⋅ } -схеми розміру s з порогом t може бути імітований схемою { ∨ , ∧ } -розміром O ( t 2 s ) .$t=n^{O(1)}$$\{+,\cdot\}$$s$$t$$\{\lor,\land\}$$O(t^2s)$

Спочатку зауважте, що досить оцінити ланцюг у із усіченим складанням і множенням: зокрема, якщо a , a ′ ≥ t , то a + b , a ′ + b ≥ t і a b , a ′ b ≥ t також або a b = a ′ b ( = 0 ) .$\{0,\dots,t\}$$a,a'\ge t$$a+b,a'+b\ge t$$ab,a'b\ge t$$ab=a'b(=0)$

Зважаючи на це, ми можемо змоделювати схему з булевою монотонною схемою, замінивши кожен вузол вузлами c 0 , … , c t , де c i призначений для обчислення предиката c ≥ i . (Нам потрібен c 0 лише для нотаційної зручності, він обчислює постійну функцію 1 ). Якщо c - булева вхідна змінна x , ми беремо c 1 = x , c 2 = ⋯ = c t = $c$$c_0,\dots,c_t$$c_i$$c\ge i$$c_0$$1$$c$$x$$c_1=x$$c_2=\dots=c_t=0$. Якщо - ворота додавання, скажімо, c = a + b , ми реалізуємо його через c i = ⋁ j , k ≤ t j + k ≥ i ( a j ∧ b k ) . Воротами множення обробляються однаково.$c$$c=a+b$

Це займає воріт на один затвор вихідної схеми. Як незначну оптимізацію, ми можемо зменшити її до O ( t 2 ) , поставивши c $O(t^3)$$O(t^2)$ так що коженaj∧bkвикористовується як вхід лише однієї зciворіт.