Фіксовані точки в обчислюваності та логіці

Це питання також було розміщено на Math.SE,

/math/1002540/fixed-points-in-computability-nd-logic

Я сподіваюся, що це нормально, щоб також розмістити його тут Якщо ні, або якщо вона занадто проста для CS.SE, будь ласка, скажіть, і я видалю її.

Я хотів би краще зрозуміти співвідношення між теоремами фіксованої точки в логіці та -cculus. $\lambda$

Фон

1) Роль фіксованих точок у незавершеності та невизначеності істини

Наскільки я розумію, крім основоположної ідеї інтерналізації логіки, ключем до доказів непереконливості істинності Тарскі та теореми про незавершеність Геделя є наступна логічна теорема з фіксованою точкою , що живе в конструктивній, фінітистичній метатеорії (сподіваюся, формулювання добре, будь ласка, виправте мене, якщо щось невірно чи неточно):

Існування фіксованих точок у логіці

Припустимо, що є достатньо виразною, рекурсивно перелічуваною теорією мови , і нехай є кодуванням -формул у , тобто , алгоритм перетворення довільних добре сформованих -формул у -формули з однією вільною змінною , таким, що для будь-якого -формула нас . ${\mathscr T}$ ${\mathcal L}$ ${\mathbf C}$ ${\mathcal L}$ ${\mathscr T}$ ${\mathcal L}$ $\varphi$ ${\mathcal L}$ ${\mathbf C}(\varphi)(v)$ ${\mathcal L}$ $\varphi$ ${\mathscr T}\vdash \exists! v: {\mathbf C}(\varphi)(v)$

Тоді існує алгоритм перетворення добре сформованих -формул у одній вільній змінній у закриті добре сформовані -формули, такі, що для будь-якої -формули в одна вільна змінна нас який, інтерпретуючи як визначений символ функції , також може бути записаний як ${\mathbf Y}$ ${\mathcal L}$ ${\mathcal L}$ ${\mathcal L}$ $\phi$
$T ⊢ Y (ϕ) \Leftrightarrow \exists v : C (Y (ϕ)) (v) \land ϕ (v),$ ${\mathscr T}\vdash {\mathbf Y}(\phi)\Leftrightarrow \exists v: {\mathbf C}({\mathbf Y}(\phi))(v)\wedge \phi(v),$ ${\mathbf C}$ $\lceil -\rceil$ $T ⊢ Y (ϕ) \Leftrightarrow ϕ (⌈ Y (ϕ) ⌉) .$ ${\mathscr T}\vdash {\mathbf Y}(\phi)\Leftrightarrow \phi(\lceil{\mathbf Y}(\phi)\rceil).$
Іншими словами, - алгоритм побудови фіксованих точок відносно -еквівалентності одно змінної -формул. ${\mathbf Y}$ ${\mathscr T}$ ${\mathcal L}$

Це щонайменше два програми:

Застосовуючи його до присудка виражає " кодує речення, яке, примірник власного кодування, не є доказовим". дає формалізацію "Це речення недоступне", яке лежить в основі аргументу Геделя. $\phi(v)$ $v$
Застосовуючи його до для довільного вироку Тарський не може визначити істину. $\neg\phi$ $\phi$

2) Фіксовані точки в нетипізованих -калькуляціях $\lambda$

У нетипізованому -калькулюванні побудова нерухомих точок є важливою при реалізації рекурсивних функцій. $\lambda$

Наявність фіксованих точок у -калькулюванні: $\lambda$

Існує комбінатор з фіксованою точкою , тобто -терм такий, що для будь-якого -term ми маємо $\lambda$ $Y$ $\lambda$ $f$
$f (Y f) \sim_{α β} Y f .$ $f(Y f)\sim_{\alpha\beta} Yf.$

Спостереження

Мене вражає те, що комбінатор нерухомої точки в -рахунку прямо, дуже чисто і нетехнічно відображає звичайне доведення теореми логічної фіксованої точки: $\lambda f.(\lambda x. f(x x))(\lambda x. f(x x))$ $\lambda$

Дуже орієнтовно , з огляду на формулу , розглядається формалізація висловлювання " кодує речення, яке при інстанцірованому самому собі задовольняє " і ставить . Речення є як , і відповідає $\varphi$ $\varphi(v)$ $v$ $\phi$ ${\mathbf A}(\phi) := \varphi(\lceil\varphi\rceil)$ $\varphi(v)$ $\lambda x. f(x x)$ $\varphi(\lceil\varphi\rceil)$ . $(\lambda x. f(x x))(\lambda x. f(x x))$

Питання

Незважаючи на швидко описану ідею, я знайшов доказ теореми логічної фіксованої точки досить технічним і важким для виконання у всіх деталях; Кунен робить це, наприклад, у теоремі 14.2 своєї книги «Теорія задань». З іншого боку, -комбінатор у -рахунку дуже простий і його властивості легко перевірити. $Y$ $\lambda$

Чи чітко випливає логічна теорема з фіксованою точкою з комбінаторів фіксованих точок у -рахунку? $\lambda$

Наприклад, чи можна моделювати -рахунок за -формулами до логічної еквівалентності, так що інтерпретація будь-якого комбінатора з фіксованою точкою дає алгоритм, як описано в теоремі логічної фіксованої точки? $\lambda$ ${\mathcal L}$

Редагувати

З огляду на безліч інших випадків того ж аргументу діагоналізації, описаного у відповідях Мартіна та Коді, слід перефразувати питання:

Чи є загальне узагальнення аргументів діагоналізації за принципом, вираженим у -комбінаторі? $Y$
$λ f . (λ x . f (x x)) (λ x . f (x x))$ $\lambda f.(\lambda x. f(xx))(\lambda x.f(xx))$

Якщо я правильно це розумію, одна пропозиція є теоремою фіксованої точки Ловевера , див. Нижче. Але, на жаль, я не можу дотримуватися відповідних спеціалізацій в жодній із статей, які цитував Мартин у своїй відповіді, і я був би радий, якщо хтось зміг би їх пояснити. По-перше, для повноти:

Теорема фіксованої точки Ловевера

Нехай категорія з кінцевими продуктами і таке , що для будь-якого морфізма в є деяка таке , що для всіх точок один має ${\mathscr C}$ $\varphi: A\times A\to Y$ $f: A\to Y$ ${\mathscr C}$ $\lceil f\rceil: 1\to A$ $p: 1\to A$
$1 \overset{p}{\to} A \overset{f}{\to} Y = 1 \overset{p}{\to} A \overset{⟨ ⌈ f ⌉, {id}_{A} ⟩}{\to} A \times A \overset{φ}{\to} Y .$ $1\xrightarrow{p} A\xrightarrow{\ f\ } Y\ \ =\ \ 1\xrightarrow{p} A\xrightarrow{\langle \lceil f\rceil,\text{id}_A\rangle} A\times A\xrightarrow{\varphi} Y.$
Тоді для будь-якого ендоморфізм , поклавши будь-який вибір призводить до фіксованій точці , а саме : $g: Y\to Y$
$f := A \overset{Δ}{\to} A \times A \overset{φ}{\to} Y \overset{g}{\to} Y,$ $f\ :=\ A\xrightarrow{\Delta} A\times A\xrightarrow{\varphi} Y\xrightarrow{g} Y,$ $\lceil f\rceil$ $g$ $1 \overset{⟨ ⌈ f ⌉, ⌈ f ⌉ ⟩}{\to} A \times A \overset{φ}{\to} Y .$ $1\xrightarrow{\langle\lceil f\rceil,\lceil f\rceil\rangle} A\times A\xrightarrow{\varphi} Y.$

Це твердження в (інтуїтивістській) теорії першого порядку категорій з кінцевими добутками, отже, стосується будь-якої моделі останнього.

$A$ $Y := \Omega := \{0,1\}$ $\rho: A\times A\to\Omega$ $\in$ $A$ $\rho: A\times A\to \Omega$ $A\to\Omega^A$ ). Далі переклад доведення теореми Лоувера дає звичайні діагональні аргументи.

Більш конкретна проблема:

Чи може хтось детально пояснити застосування теореми Лоувера до часткових рекурсивних функцій або теорем логічної фіксованої точки? Зокрема, які категорії нам потрібно враховувати?

${\mathbb N}$ ${\text{End}}({\mathbb N})$

На жаль, я не розумію, що це означає.

$\text{End}({\mathbb N})$ $A=Y={\mathbb N}$ ${\mathbb N}\to{\mathbb N}$ $1\to {\mathbb N}$ $1\to {\mathbb N}$ ${\mathbb N}$ $1\to {\mathbb N}$ є також лише частковою функцією, отже, її неможливо визначити, теорема фіксованої точки є тривіальною.

Яку категорію насправді хоче розглянути?

Можливо, мета полягає в тому, щоб отримати теорему з фіксованою точкою Роджера, але тоді слід якось побудувати кодування часткових рекурсивних функцій натуральними числами до визначення категорії, і я не можу зрозуміти, як це зробити.

Я був би дуже радий, якби хтось міг пояснити побудову контексту, до якого застосовується теорема фіксованої точки Лоувера, породжуючи логічну теорему з фіксованою точкою або теорему з фіксованою точкою для часткових рекурсивних функцій.

Дякую!

lo.logic computability lambda-calculus

— Ханно Беккер
джерело

Q

$Q$

λ

$\lambda$

@ EmilJeřábek: Дякую за Ваш коментар! Я розумію, що кодування рекурсивних функцій не буде, але я хотів би чітко відокремити те, що стосується кодування, а що формальне після цього.

— Ханно Беккер

λ

$\lambda$

Y

$Y$

φ

$\varphi$

N \to (N \to N)

$\mathbb{N}\rightarrow(\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N})$

(N \to N) \to (N \to N)

$(\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N})\rightarrow(\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N})$

Y

$Y$

Коді, ти міг би точніше уточнити, яку категорію ти використовуєш, тому що я не можу слідувати за іншими джерелами.

— Ханно Беккер

Я, мабуть, прямо не відповідаю на ваше запитання, але є загальне математичне узагальнення безлічі парадоксів, включаючи теореми Геделя та Y-комбінатор. Я думаю, що це вперше дослідив Lawvere. Див. Також [2, 3].

FW Lawvere, діагональні аргументи та декартові закриті категорії .
Д. Павлович, Про структуру парадоксів .
Н. С. Янофський, Універсальний підхід до самореференційних парадоксів, неповноти та фіксованих балів .

— Мартін Бергер
джерело

{Lind}^{1} \times {Lind}^{1} \to {Lind}^{0}

$\text{Lind}^1\times\text{Lind}^1\to\text{Lind}^0$

@HannoBecker Це може бути досить важким і чутливим до кодування.

— Мартін Бергер

У мене немає повної відповіді на ваше запитання, але я маю таке:

Згідно Вікіпедії говорить

$Q(x, y)$ $p$
$φ_{p} ≃ λ y . Q (p, y)$ $\varphi_p\simeq \lambda y.Q(p, y)$ $\varphi$ $\mathbb{N}$

$\lambda$

$\phi$ ${\mathscr T}$ $n$
$T ⊢ ϕ (\bar{n}) \Leftrightarrow T ⊢ \exists y, φ_{n} (y) = 0$ ${\mathscr T}\vdash \phi(\overline{n}) \Leftrightarrow {\mathscr T}\vdash \exists y, \varphi_n(y)=0$

Це не зовсім те, що ви хочете, але трюк інтерналізації може дати вам більш сильну заяву

${\mathscr T}\vdash \phi(\overline{n})\leftrightarrow \exists y, \varphi_n(y) = 0$

Тепер знову це не зовсім логічна теорема з фіксованою точкою, але вона може служити тій самій цілі.

$Q(x,y)$
$Q (x, y) = 0 iff T ⊢ ϕ (\bar{x}) in at most y steps$ $Q(x,y) = 0 \mbox{ iff }{\mathscr T}\vdash \phi(\overline{x})\mbox{ in at most $y$ steps}$ $Q$ $\exists y, Q(x, y)$ ${\mathscr T}$ $\phi(\overline{x})$ ${\mathscr T}\vdash\exists y,Q(\overline{x}, y)$ $\omega$ $Q$ $\square$

Трохи задумавшись, ви можете, ймовірно, посилити цей аргумент, щоб дати вам повну теорему безпосередньо без інтерналізації.

— коді
джерело

φ : N ≅ C (N, N)

$\varphi:{\mathbb N}\cong\text{C}({\mathbb N},{\mathbb N})$

С (N^{2}, N) \to Карта (N, С (N, N)) ≅ Карта (N, N)

$\text{C}({\mathbb N}^2,{\mathbb N})\to\text{Map}({\mathbb N},\text{C}({\mathbb N},{\mathbb N}))\cong\text{Map}({\mathbb N},{\mathbb N})$

C (N, N)

$\text{C}({\mathbb N},{\mathbb N})$

N^{2} \to N

${\mathbb N}^2\to{\mathbb N}$

(n, m) \mapsto φ (n) (m)

$(n,m)\mapsto\varphi(n)(m)$

Y

$Y$

λ

$\lambda$

φ

$\varphi$

Y

$Y$

Y f ≃ f (Y f)

$Y\ f\simeq f(Y\ f)$

p := Y Q

$p:= Y\ Q$

λ

$\lambda$ quoteeval

Y

$Y$