Як судити про визначення обчислювальної складності реалів природним чи придатним?

Як відомо, визначення обчислювальної складності алгоритму майже не суперечить, але визначення обчислювальної складності реалів або обчислювальних моделей над реалами не в такому випадку. Ми знаємо модель і модель Блума і Смайла в книзі «Комп'ютерний аналіз». І, здавалося б, модель в обчислювальному аналізі відповідає класичній моделі, але визначення обчислювальної складності дійсних даних не може бути перенесено на класичну модель.

І як перенести визначення обчислювальної складності реалів на класичну модель?

— XL _At_Here_There
джерело

Для вашого першого питання "природне" - це дуже суб'єктивне поняття, і залежно від того, кого ви запитуєте, те чи інше визначення буде вважатися найбільш природним. Що стосується "підходящого", то це залежить: модель BSS видається придатною для обчислювальної геометрії або обчислювальної алгебраїчної геометрії, а модель в обчислювальному аналізі більше підходить для ... обчислювального аналізу! Я не розумію другого питання.

— Бруно

@Bruno, дякую за ваш коментар, я вважаю, що модель в обчислювальному аналізі, і не знаю, як застосувати визначення обчислювальної складності до обчислення реального числа над класичною моделлю на кшталт машини Тьюрінга, оскільки обчислювальна складність реального числа над моделлю в обчислювальному аналізі залежить від його представлення, а саме вхідних даних для його обчислення.

— XL _At_Here_There

Ви, здається, думаєте, що існує поняття складності для обчислення реальних чисел, яке не залежить від подання дій. Що змушує вас так думати? Це не так і в класичній складності. Важливо, чи є у вас стрічка чи оперативна пам’ять, важливо, чи представляєте ви графіки за списками суміжності або 01-матрицями тощо.

— Андрій Бауер

Але це неправда, що складність не залежить від представництва. Перейшовши на дурне представлення, ви завжди можете зруйнувати складність алгоритму. Питання, яке потрібно задати: "Яке добре представлення вхідних даних?" На дискретні проблеми на це відповісти набагато простіше, ніж на реальні цифри, тому що люди мають гарне відчуття щодо того, що означає "не витрачати шматочки".

— Андрій Бауер

модель BSS здається придатною для обчислювальної геометрії - Дивіться мою відповідь на пов'язане питання . Модель Real RAM, що використовується обчислювальними геометрами, майже до десятиліття передувала Blum, Shub та Smale.

— Jeffε

Відповіді:

Я не зовсім впевнений, у чому тут питання, але можу спробувати трохи сказати, щоб очистити можливі непорозуміння.

$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ $\sqrt{2}$ $f$

$f : A \to B$ $A$ $(a, f(a))$ $f$

$\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$

$+$ $\times$ $-$ $/$ $|{-}|$
$x$ $k \in \mathbb{N}$ $p, q$ $|x - p/q| \leq 2^{-k}$
$x$ $y$ $x < y$
$(x_n)_n$ $|x_{n+1} - x_n| \leq 2^{-n}$ $\lim_n x_n$

Існують старі теореми (див. Вступ до цієї статті для посилань), які пояснюють, чому ці умови є правильними. Ці теореми також показують, що будь-яке два подібних подання дій є обчислювально ізоморфними, тобто ми можемо перекладати між ними програми. Це встановлює деякі критерії коректності, які викидають несправні ідеї.

Наприклад, я чую, як люди говорять такі речі, як "раціональні числа можуть бути представлені кінцевою інформацією, тому давайте використовувати це для раціональних чисел, а ірраціональні числа повинні бути представлені нескінченною інформацією". Така річ не працює, оскільки вона порушує четверту умову вище (розгляньте межу ірраціональних чисел - як ви скажете, що вона сходить до раціональної?).

Іншим прикладом, який вищезгадані умови усувають, є модель Blum-Shub-Smale, оскільки в ній ви не можете обчислити межі послідовностей. Краще сказати, що модель BSS працює на дискретно впорядкованому підполі реалів (породжених за будь-якими параметрами), а не на самих реалах.

Серед правильних уявлень реалів деякі ефективніші, ніж інші, хоча це є дещо складною темою для обговорення, оскільки реальні числа є нескінченними об'єктами. Маттіас Шредер зазначав, що для розумної теорії складності потрібно звертати увагу на топологічні властивості представлення.

Нарешті, як ми можемо виміряти складність карти , припускаючи, що ми добре представили ? Оскільки представлений функцією, або нескінченним потоком інформації, або деяким подібним, нам слід використовувати одне з понять вищого типу складності . Який, мабуть, залежить від представництва, яке ви використовуєте. $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ $\mathbb{R}$ $x \in \mathbb{R}$

Модель BSS - це також розумна модель складності схеми, в якій ми рахуємо арифметичні операції. Просто добре пам’ятати, що ця модель не про реальні числа, а про щось інше.

— Андрій Бауер
джерело

Дуже дякую за вашу відповідь та стільки довідок. Я відчуваю незручність щодо деяких понять обчислювальної складності, дозвольте мені прочитати посилання та подумати на деякий час, і наведіть приклад, якщо я можу знайти підходящу, щоб пояснити, чому мені так незручно (це звучить смішно, але мій досвід підказує мені якщо мені незручно, має бути щось поодиноке)

— XL _At_Here_There

На мій досвід, почуття незручності щодо нових знань - це хороший знак, і зазвичай це необхідна умова просвітлення.

— Андраш Саламон

Інша модель, яку можливо дослідити, - це модель здійсненної оперативної пам’яті. Це модифікована модель реальної оперативної пам’яті для обчислення реальних, можливих оперативної пам’яті або модифікована модель оперативної пам’яті, яка використовує як дискретні, так і реальні цінні арифметичні операції. Ця модель дозволяє здійснити реальні та дискретні операції, а модель Тюрінга - взаємозамінна з нею. Модель реальної оперативної пам’яті має точність, визначену невизначеністю, що означає, що дозволяє порівняти дійсні числа лише до змінної невизначеності 1 / (k + 1). Це дозволяє здійснювати приблизні обчислення. Також, як заявляють Васко Братткаа та Пітер Гертлінгб у " Можливих реальних машинах з випадковим доступом" - пов'язані між собою моделі Тьюрінга та Можливої реальної оперативної пам'яті. Усі функції, які можна обчислити на машині Тюрінга за часом $<_{k}$ $O(t)$ обчислюються на ОЗП у часі , а в зворотному випадку є деяка накладні витрати на машину Тюрінга, яка обчислює функцію (якщо реальна ОЗУ обчислює функцію в ТМ обчислює функцію в . Як зазначалося, топологічні міркування є корисними, невідомо, чи існує якийсь топологічний контекст, розроблений для цієї моделі обчислень, який дозволяє реальні обчислення, який має невизначеність. в точності. $O(t)$ $O(t)$ $O(t^{2}log(t)log(log(t)))$

— користувач3483902
джерело

Не могли б ви дати посилання на можливу модель оперативної пам’яті?

— XL _At_Here_There

Дивіться вище в цій області, "... ця посилання ..." має посилання на статтю.

— користувач3483902

Дякую за вказівку на роботу «Братка та Гертлінг», я вже збирався згадати про це, я забув. Я хотів би лише зазначити, що модель реальної оперативної пам’яті не включає жодних функцій вищого порядку, зокрема, вона не може обчислити ліміт (швидкої) послідовності Коші, тому я би не вважав її точною реалізацією «реал». Він може обчислити одну межу "на верхньому рівні", так би мовити (див. Частину статті, де вони говорять про раціональні наближення функцій).

— Андрій Бауер