Алгоритмічні переваги ширини шляху перед шириною

Ширина ширини відіграє важливу роль в алгоритмах FPT, частково тому, що багато проблем FPT параметризовані по ширині. Пов'язане, більш обмежене поняття - поняття про ширину шляху. Якщо графік має ширину траєкторії , він також має ширину ширини не більше , тоді як у зворотному напрямку ширина має на увазі лише пропускну здатність не більше і це щільно. $k$ $k$ $k$ $k\log n$

З огляду на вищесказане, можна очікувати, що може бути значна алгоритмічна перевага графіків обмеженої ширини шляху. Однак здається, що більшість проблем, які є FPT для одного параметра, є FPT для іншого. Мені цікаво знати будь-які зустрічні приклади до цього, тобто проблеми, які "прості" для ширини шляху, але "важкі" для широкої ширини.

Дозвольте зазначити, що мені було вмотивовано задати це питання, наткнувшись на недавню статтю Ігоря Разгона ("Про OBDD для CNF з обмеженою шириною", KR'14), яка наводила приклад проблеми з рішенням при - ширина шляху та нижня межа (приблизно) коли - широта ширини. Мені цікаво, чи існують інші особини з такою поведінкою. $2^{k}n$ $k$ $n^k$ $k$

Резюме: Чи є приклади природних проблем, які W-жорсткі параметризовані по ширині, але FPT параметризовані по ширині шляху? Загалом, чи є приклади проблем, складність яких відома / вважається набагато кращими при параметризації шириною шляху замість ширини ширини?

parameterized-complexity treewidth graph-minor

— Майкл Лампіс
джерело

Є проблеми, які легкі на стежках, але NP-Hard на деревах. До них відносяться мінімальний мультикут і максимальний цілий багатопотоковий потік.

— Чандра Чекурі

@ChandraChekuri Це хороший момент, але хіба алгоритми доріжок для таких проблем зазвичай узагальнюються до ширини шляху? Наприклад, для максимального цілого множинного потоку, я думаю, це не так. Гарг, Вазірані та Яннакакіс довели твердість NP для дерев у "Алгоритмах первинного-подвійного наближення для цілісного потоку та мультикореневих дерев". Для скорочення використовується дерево висотою 3. Це означає, що проблема є важкою для постійної ширини шляху.

— Майкл Лампіс

Це знову не є чистою відповіддю на початкове запитання. Відомо, що розрив потоку в графіках ширини траєкторії k обмежений f (k) для деякої функції f через результат Лі та Сидіропулоса. Важливою відкритою проблемою є те, чи такий результат стосується широкої ширини. Випадок k = 3 відкритий для широкої ширини.

— Чандра Чекурі

(2 + \sqrt{2})^{p w}

$(2+\sqrt{2})^{pw}$

4^{t w}

$4^{tw}$

$W[1]$ $G$ $1$ $W[1]$

$G$ $T = \{T_1, . . . , T_t\}$ $T_i ⊆ V(G)$ $p$ $k$ $S$ $k$ $T_i$ $G \ S$

$W[1]$ $k$ $p = 3$ $tw(G) = 2$

[1] https://core.ac.uk/download/pdf/77298274.pdf

[2] http://drops.dagstuhl.de/opus/volltexte/2015/4911/pdf/11.pdf

— Рупей Сюй
джерело