Властивості, виражені в 2-CNF або 2-SAT

Як видно, що певна властивість не може бути виражена в 2-CNF (2-SAT)? Чи є якісь ігри, наприклад, галькові ігри? Схоже, класична гра з чорною галькою та гра з чорно-білою галькою для цього непридатні (вони PSPACE завершені, згідно з Hertel та Pitassi, SIAM J of Computing, 2010).

Або будь-які прийоми, крім ігор?

Edit : я думав про властивості , які включають підрахунок (або потужність) в якості невідомого предиката ( SO присудок, як кажуть теоретики б кінцеві моделі). Наприклад, як у Clique або у невагомій відповідності. (a) Кліка : Чи є в даному графі клаца така, що деяке задане число ? (Б) Збіг : Чи є відповідність в така , що ? $C$ $G$ $|C| \ge$ $K$ $~$ $M$ $G$ $|M| \ge K$

Чи можна рахувати 2-SAT? Чи має механізм підрахунку? Здається сумнівно.

sat lower-bounds combinatorial-game-theory

— Самер Гупта
джерело

Я розумію, що в теорії кінцевих моделей є гра Еренфехт-Фрейсе (для FO) та гра Ajtai-Fagin (для монадійного SO). Але не впевнений, чи їх тут достатньо. Також ігри в FMT ускладнюються з упорядкованими структурами, правда?

— Самер Гупта

@Marzio це здається деяким доказом того, що не всі булеві функції є виразними в 2CNF, оскільки ви заявляєте, відповіли б на це питання (насправді не впевнені в цьому, не вважайте це очевидним). що це за доказ? це десь публікується?

— vzn

@vzn: тривіальна булева функція, яка не є вираженою у 2-CNF, є:

(x_{1} \lor x_{2} \lor x_{3})

$(x_1 \lor x_2 \lor x_3)$

— Marzio De Biasi

@SameerGupta: після переформулювання, perhpas питання стає складним :-); дійсно

, де

обмежений пункти з двома змінними (SO-Krom) захоплює NL над впорядкованими структурами, в той час як екзистенціальна SO захоплення НП. Очевидно, що FO 2-SAT не може розраховувати (а методи Ehrenfeucht – Fraïssé або методи компактності досить далекі, тому що ви можете використовувати їх, щоб довести, що PARITY - це не FO).

\exists P_{1} . . . \exists P_{n} \forall \bar{z} φ (P_{1}, . . ., P_{n}, \bar{z})

$\exists P_1...\exists P_n \forall \bar{z} \varphi( P_1,...,P_n, \bar{z})$

φ

$\varphi$

— Marzio De Biasi

в порядку. мабуть, існує якась загальна теорія, що

-SAT не може виражати всі булеві функції для константи

. що це за теорія? це питання задає особливий випадок

. Зауважимо, існує концепція "зменшення"

-SAT до 3-SAT через перетворення Цеїтіна . також спостерігали подібну концепцію, що з'являється в монотонних схемах нижчих меж доказів (Разборов).

k

$k$

k

$k$

k = 2

$k=2$

n

$n$

— vzn

Відповіді:

Сімейство бітвекторів - це клас рішень задачі 2-SAT, якщо і лише якщо вона має серединну властивість: якщо застосувати функцію побітової більшості до будь-яких трьох рішень, ви отримаєте інше рішення. Див., Наприклад, https://en.wikipedia.org/wiki/Median_graph#2-satisbilitybility та його посилання. Отже, якщо ви можете знайти три рішення, для яких це не відповідає дійсності, то ви знаєте, що це не може бути виражено в 2-CNF.

— Девід Еппштейн
джерело

Девід, спасибі, погляне на це. @vzn - Чи відповідь Девіда пов’язана з тим, що ви прокоментували 2 дні тому на сайті чату, що формули 3SAT існують для всіх наборів бітових векторів, і шукаєте результат для формул 2SAT щодо наборів бітових векторів?

— Самєр Гупта

Девід, Юваль - Звичайно, ваші докази спрацюють, якщо ви використовуєте той самий набір змінних. Але що робити, якщо набір використаних змінних може бути абсолютно різним? Подивіться на відповідь Мартіна Сеймура тут: cstheory.stackexchange.com/questions/200/… - Для того, щоб показати, що від K-Clique або K-Matching до 2SAT не існує однозначного скорочення (бажано, простору журналу), потрібне інше підтвердження . Думки?

— Самер Гупта

Додавання допоміжних змінних, а потім їх проектування не допоможе, тому що якщо середня властивість вірна для розширеної системи змінних, вона все ще відповідає дійсності в проекції.

— Девід Еппштейн

Ще один спосіб сказати, що медіана (або більшість) є поліморфізмом для обмежень 2SAT. Насправді відомо, що будь-яка ДСП (навіть небулева), яка має більшість як поліморфізм, знаходиться в

(Далмау-Крохін '08).

N L \subseteq P

$\mathsf{NL} \subseteq \mathsf{P}$

— arnab

Нехай є властивістю на змінних. Припустимо, існує формула 2CNF така, що $P(x_1,\ldots,x_n)$ $n$ $\varphi(x_1,\ldots,x_n,y_1,\ldots,y_m)$ Ми стверджуємо, що еквівалентно формулі 2CNF включає лише . Щоб довести це, досить показати, як усунути . Запишіть

P (x_{1}, \dots, x_{n}) \Leftrightarrow \exists y_{1} \dots \exists y_{m} φ (x_{1}, \dots, x_{n}, y_{1}, \dots, y_{m}) .

$P(x_1,\ldots,x_n) \Leftrightarrow \exists y_1 \cdots \exists y_m \varphi(x_1,\ldots,x_n,y_1,\ldots,y_m).$

φ

$\varphi$

ψ

$\psi$

x_{1}, \dots, x_{n}

$x_1,\ldots,x_n$

y_{m}

$y_m$

де

буквально, а

не передбачає

. Формула

еквівалентна

φ = χ \land ⋀_{k = 1}^{s} (y_{m} \lor U_{k}) \land ⋀_{ℓ = 1}^{t} (\bar{y_{m}} \lor V_{ℓ}),

$\varphi = \chi \land \bigwedge_{k=1}^s (y_m \lor U_k) \land \bigwedge_{\ell=1}^t (\overline{y_m} \lor V_\ell),$

U_{k}, V_{ℓ}

$U_k,V_\ell$

χ

$\chi$

y_{m}

$y_m$

φ

$\varphi$

Це доводить твердження, коли

не відображається в одиничному пункті; якщо це станеться, ми можемо усунути його безпосередньо.

χ \land (\bar{y_{m}} \Rightarrow ⋀_{k = 1}^{s} U_{k}) \land (y_{m} \Rightarrow ⋀_{ℓ = 1}^{t} V_{ℓ}) ⟺ χ \land (⋀_{k = 1}^{s} U_{k} \lor ⋀_{ℓ = 1}^{t} V_{ℓ}) ⟺ χ \land ⋀_{k = 1}^{s} ⋀_{ℓ = 1}^{t} (U_{k} \lor V_{ℓ})

$\chi \land (\overline{y_m} \Rightarrow \bigwedge_{k=1}^s U_k) \land (y_m \Rightarrow \bigwedge_{\ell=1}^t V_\ell) \\ \Longleftrightarrow \\ \chi \land (\bigwedge_{k=1}^s U_k \lor \bigwedge_{\ell=1}^t V_\ell) \\ \Longleftrightarrow \\ \chi \land \bigwedge_{k=1}^s \bigwedge_{\ell=1}^t (U_k \lor V_\ell)$

y_{m}

$y_m$

$P(x_1,\ldots,x_n)$ $\psi(x_1,\ldots,x_n)$ $P$ $P$ $K$ $K$ $n$

— Юваль Фільм
джерело

y_{i}

$y_i$

ψ

$\psi$

x_{1}

$x_1$

x_{2}

$x_2$

\dots

$\cdots$

x_{n}

$x_n$

ϕ_{1}

$\phi_1$

ϕ_{2}

$\phi_2$

ϕ_{2}

$\phi_2$

y_{i}

$y_i$

y_{i}

$y_i$

$L$ $-$ $L$

(Так, я знаю, що складання, множення і підрахунок обчислювальних функцій, але їх легко перетворити на версії рішень відповідної проблеми.)

$L \subseteq NL$ $NL$ $AC^0$ $AC^0$

(c) Отже, для підрахунку , навіть якщо ви не можете отримати еквівалентний вираз у 2-CNF, використовуючи метод, описаний у (b), ви можете отримати виразний вираз 2-CNF.

Так що так, 2-SAT можна порахувати.

$NL$ $|M|$ $NL$

— Мартін Сеймур
джерело

Зрозуміло, якщо ви вірите моїй відповіді, тоді виразний вираз 2-CNF може бути перетворений у сумлінний еквівалент 2-CNF вираження.

— Yuval Filmus

-

$-$

$~$

Ви можете прочитати мою відповідь і самі переконатися. Зауважте, що в цьому випадку немає меж часу / простору.

— Yuval Filmus

L

$L$

{A C}^{0}

$\mathrm{AC}^0$

f

$f$

x \in L

$x\in L$

f (x)

$f(x)$

ϕ

$\phi$

x_{i}

$x_i$

ϕ

$\phi$

-

$-$

x_{i}

$x_i$

$~$