Наслідки варіантів гіпотези Рімана в TCS

Гіпотеза Рімана, що перебуває понад 1–1 століття, має глибокі наслідки в математиці, і тепер велика кількість теорії математики тепер умовно підтверджена в ній і численними варіантами. Нещодавно я натрапив на посилання на умовний результат в TCS на основі гіпотези Рімана. Тому мені цікаво,

які основні наслідки гіпотези Рімана в TCS?

Для початку наводимо приклад з недавньої статті « Поліноми гомоморфізму», доповнені для ВП Дурандом, Махаджаном, Малод, де Руджі-Альтерром та Саурабом. Зі вступу статті:

Одне з найважливіших відкритих питань в теорії алгебраїчної складності - це вирішити, чи відрізняються класи VP і VNP. Ці класи, вперше визначені Валіаном у [13, 12], є алгебраїчними аналогами булевих класів складності P і NP, і відокремлення їх є важливим для відокремлення P від NP (принаймні, нерівномірно та припускаючи узагальнену гіпотезу Рімана, над полем , [3]). $\mathbb{C}$

cc.complexity-theory algebraic-complexity arithmetic-circuits

— взн
джерело

Добре відомо, що узагальнена РЗ означає, що ми можемо знецінити випадковість тесту на первісність Міллера-Рабіна. Але я не знаю, чи є щось глибше чи ширше, пов’язане з цим.

— usul

Хм, я думаю, є також певне відношення до проблеми детерміновано швидкого знаходження великого простого числа ( тобто, заданого

у двійковій формі, знайти просте число, що перевищує

). Сподіваюся, хтось знаючий може прокоментувати.

n

$n$

n

$n$

— usul

@usul RH означає, що для всіх великих

існує розкрій

, що дає дещо нетривіальний детермінований алгоритм, але дуже далекий від того, що ми хочемо. Більше того, ми знаємо, як досягти однакового часу роботи без RH, дивіться проект документа для полімат arxiv.org/abs/1009.3956 . Я вважаю, що кращий детермінований алгоритм пошуку праймесів, припускаючи, що РЗ буде суттєвим результатом.

n

$n$

[n, n + n^{0.5 + o (1)}]

$[n, n + n^{0.5 + o(1)}]$

— Сашо Ніколов

Крім того, розширення RH дає добру верхню межу найменшого розряду в арифметичних прогресіях (див., Наприклад, Розділ 5.5.4 в shoup.net/ntb/ntb-v2.pdf ).

— Олексій Головнєв

Відповіді:

По-перше, мені невідомо жодне застосування ГС гіпотези Рімана як такої. Існують різні застосування узагальнень РЗ.

По-друге, термінологічна примітка: всупереч поширеній думці, не існує такого поняття, як "узагальнена гіпотеза Рімана" або "розширена гіпотеза Рімана". Обидва ці терміни використовуються більш-менш взаємозамінно в літературі як вільне позначення будь-якого виду узагальнень РЗ до деякого класу функцій. Вони не мають фіксованого конкретного значення, або, принаймні, жодного змісту у працях різних авторів (або навіть різних статей одного автора). $L$

$\mathbb C$ $\zeta$

$m$ $\chi(x)=-1$ $x=O((\log m)^2)$ $O$ $L$ $\zeta$ $L$ $\zeta$

$\sqrt x$

— Еміль Єржабек
джерело

L

$L$

ζ

$\zeta$

@ Франсуа: Я також особисто звик до цієї термінології. Але, наприклад, досить відома книга Баха і Шалліта визначає її прямо протилежно (що, до речі, суперечить власному використанню Баха в його документі "Явні межі ...").

— Еміль Єржабек

Чи не ФАКТОРИНГ у ППА є цікавим наслідком? arxiv.org/abs/1207.5220

— domotorp

Можливо. Це приклад "Наслідком цього є те, що в передостанньому абзаці можна дерандомізувати декілька алгоритмів, таких як ..." , і я не вважаю за потрібне рекламувати власну роботу у відповіді.

— Еміль Єржабек

Припускаючи розширену гіпотезу Рімана, Л. М. Адлеман та Х. В. Ленстра дали алгоритм багаточленного часу для пошуку невідворотного многочлена потрібного ступеня над кінцевим полем: http://www.math.leidenuniv.nl/~hwl/PUBLICATIONS/1986a/art .pdf

— Лін Бінгкай
джерело