Кубічні графіки, що розподіляються на кігті та контури

Знову проблема розбиття краю, складність якої мені цікаво, мотивована попереднім моїм питанням .

Введення: кубічний графік $G=(V,E)$

Запитання: чи є розділ на E 1 , E 2 , … , E s , таким чином, що підграф, індукований кожним E i, є або кігтом (тобто K 1 , 3 , часто називають зіркою), або 3- шлях (тобто P 4 )?$E$$E_1, E_2, \ldots, E_s$$E_i$$K_{1,3}$$3$$P_4$

Я думаю, що одного разу я побачив документ, де ця проблема виявилася неповною, але я не можу її знайти більше, і не пам'ятаю, чи застосовувався цей результат до кубічних графіків. З цього приводу я знаю, що розподіл граней двостороннього графіка на кігті не є повним NP (див. Дайєр і Фриз ). Хтось має посилання на описувану я проблему чи щось пов'язане (тобто таку саму проблему в іншому класі графіків, яку я міг би спробувати зменшити до кубічних графіків)?

Це не є відповіддю на складність проблеми, але, принаймні, показує, що складність має шанс бути нетривіальною: це приклад кубічного графіка, який не можна розділити на шляхи та кігті.

_{(джерело: uci.edu )}

У межах кожної з трьох її часточок будь-яка перегородка на шляхи та кігті може використовувати лише шість із семи ребер. Решта шість центральних країв мають форму кігтя з кожним підрозділеним ребром, який не можна розділити на доріжки та кігті.

ETA : Графік, показаний вище, більш відомий як приклад кубічного графіка без ідеального відповідності. Але кожен кубічний графік із ідеальним узгодженням має розкладання на контури (навіть не використовуючи жодних кігтів). За теоремою Кеніга це включає всі кубічні двопалітні графіки, а за теоремою Петерсена це включає всі безмовні кубічні графіки, відповідаючи на запитання Йозефа Малькевича в коментарях.

Доказ дуже простий: якщо M - ідеальне відповідність у кубічному графіку, то видалення M залишає 2-регулярний графік, тобто розрізнений об’єднання циклів. Орієнтуйте кожен цикл довільно і прикріпіть кожен край uv М до країв циклу, які слідують за u та v в орієнтаціях їх циклів.

В іншому напрямку, якщо існує декомпозиція на шляхи, то існує ідеальна відповідність: середні краї кожного контуру повинні бути відповідні, оскільки жодні два середніх ребра не можуть розділяти вершину ступеня три.

(Відмова: ця ідея, можливо, вже була присутня в запрошеній бесіді Карстена Томассена на GD 2010, що стосувалася такої проблеми розкладання графіків.)

(на додаток до відмови від відповідальності (Ентоні Лабарре): "ідея орієнтації" для переходу від ідеального відповідності до розділу на шляхи з'являється в цій роботі Юнгер, Рейнльт та Пуллібланк , які відносять його до У. С. Каннінгема.)

$k$$k\geq 3$$k=3$$2$$3$

Це насправді не було кінцем історії: якщо кубічний графік є двостороннім, то легко розділити його крайовий набір за допомогою лише кігтів, вибравши один набір двостороннього перетворення та зробивши його набором "центрів кігтів". Загальна проблема справді є складною, що можна довести за допомогою зменшення КУБІЧНОГО ПЛАНАРНОГО МОТОТОНУ 1-В-3 СУМОВОСТІ. Усі реквізити доступні у вільному доступі на arxiv .

Можливо, цей документ може зацікавити:

Kleinschmidt, Peter Регулярні розділи звичайних графіків. Канад. Математика. Бик. 21 (1978), вип. 2, 177–181.

Він стосується графіків, які можна записати як об'єднання "Z-доріжок" довжиною 3. (Зокрема, плоскі, 3-валентні, 3-з'єднані графіки-кубічні 3-політопи.)