Чому ворота mod

39

Райан Вільямс щойно розмістив нижню межу на ACC , класі проблем, які мають контури постійної глибини з необмеженими вентиляторами та воротами І, АБО, НЕ та MOD_m для всіх можливих м.

Що такого особливого у воротах MOD_m?

Вони дозволяють імітувати арифметику над будь-яким кільцем Z_m.
До результату Райана, кидання воріт MOD_m до суміші дало перший клас, для якого відомі нижні межі не працювали.

Чи є якісь інші природні причини вивчати ворота MOD_m?

— Дана Мошковіц
джерело

39

- клас природної складності. $ACC^0$

1) Баррінгтон показав, що обчислення над нерозв'язними моноїдами захоплюють тоді як над розчинними моноїдами захоплюють . $NC^1$ $ACC^0$

2) Нещодавно Гансен і Коукі довели гарний результат, що програми планарного розгалуження постійної ширини з величиною полімеру мають саме . Без умови планарності ми, звичайно, отримуємо результат Баррінгтона, що характеризує . $ACC^0$ $NC^1$

Отже різниця між і є групово-теоретичною з одного боку і топологічною з іншого. $ACC^0$ $NC^1$

Додано: Дана, простий приклад розв’язуваної групи - , симетрична група над елементами. Не вникаючи в подробиці, будь-яка розв'язувана група має ряд, коефіцієнти яких бувають циклічними. Ця циклічна структура відображається як модні ворота під час побудови схеми для вирішення проблем зі словом над групою. $S_4$

Щодо планарності, то хочеться вірити, що планарність може накладати обмеження / вузькі місця в потоці інформації. Це не завжди відповідає дійсності: наприклад, відомо, що варіації планарного 3SAT є NP-завершеними. Однак у менших класах ці обмеження є "ймовірнішими".

У подібному руслі Вігдерсон показав NL / poly = UL / poly, використовуючи ізоляційну лему. Ми не знаємо, як дерандомізувати лемму ізоляції над довільними DAG, щоб отримати NL = UL, але ми знаємо, як це зробити для планарних DAG.

— V Vinay
джерело

1

Дякую за інформацію! Я хотів би почути більше про інтуїцію цих результатів. Що стосується мого запитання: ваш аргумент полягає в основному, що

[O (log n) глибина, ворота AND, АБО, НЕ] є природним, а

- це невелика його зміна (до розв'язних, а не нерозв'язних моноїдів або до планарних, а не непланарних програм розгалуження). Не могли б ви трохи розібратися: навести приклади цікавих моноїдів для обчислення та як важлива їх розв’язність? Чи є апріорна мотивація зацікавитись тим, чи є програма розгалуження планарною чи ні?

N C^{1}

$NC^1$

A C C

$ACC$

— Дана Мошковіц

7

A C^{0}

$AC^0$

A C^{0}

$AC^0$

@Vinay: Ви впевнені, що результат NL / poly = UL / poly пов'язаний з Вігдерсоном?

— Дай Ле

17

$\bmod m$ $m$ $\bmod p$

Розглянемо клас контурів постійної глибини, які складаються лише з воріт та входів та констант на листках. Тоді можна легко показати, що функція АБО (наприклад) не може бути обчислена такими схемами, незалежно від розміру схеми. (Це тому, що будь-яка така схема обчислює поліном низького ступеня над , а ступінь АБО дорівнює ). $\bmod p$ $\mathbb{F}_p$ $n$

Однак якщо ми розглянемо схеми, що складаються лише з воріт де має щонайменше два чіткі прості коефіцієнти, для функції АБО існує схема глибини (експоненціального розміру). $\bmod m$ $m$ $2$

І до результату Райана, я вважаю, найменший клас, для якого у нас не було гідних нижчих меж. $AC^0[\bmod 6]$

— Рампрасад
джерело

1

M O D_{q}

$MOD_q$

M O D_{p}

$MOD_p$

p \neq q

$p \ne q$

M O D_{6}

$MOD_6$

14

Просто уточнити два моменти:

Якщо ми займаємося розумінням обчислень, модульне підрахунок - одна з рубежів нашого розуміння. Модульний підрахунок - одне з найпростіших і природних явищ у обчисленні, але ми, здається, про це так мало розуміємо. Ми не можемо виключати можливість того, що схеми глибини 3 полінома з просто воротами Mod6 можуть обчислити кожну функцію в NP. Однак передбачається, що такі схеми можуть обчислювати лише функції з великим розміром підтримки, а отже, не можна обчислити дуже просту функцію, як AND. У верхній межі ситуація схожа, у нас немає нетривіальних результатів.

Ці питання також дуже цікаві з суто математичної точки зору, оскільки вони тісно пов'язані з дуже природними питаннями про поліноми та матриці над Z_m. Для прикладу, у нас немає хороших нижніх меж для рангу nxn кодіагональної матриці над Z_6. Кодіагональна матриця має 0s по діагоналі і ненулі від діагоналі.

— аада
джерело

Тим, хто зацікавлений у "простому проти композитного модуля", слід перевірити домашню сторінку Вінса Гролмуша: grolmusz.pitgroup.org

— Stasys

Чому ворота mod_m цікаві?