Чи є якісь докази нерозв'язності проблеми зупинки, яка не залежить від самореференції чи діагоналізації?

Це питання, пов’язане з цим . Поставивши його знову в набагато простішій формі після безлічі дискусій там, це здавалося зовсім іншим питанням.

Класичний доказ нерозбірливості проблеми зупинки залежить від демонстрації протиріччя при спробі застосувати до себе гіпотетичне рішення HALT. Я думаю , що це просто означає неможливість наявності HALT вирішального , що вирішує сам зупиниться чи ні, але це не дає ніякої інформації , крім що про можливість розв'язання припинення будь-яких інших випадків.

Тож питання є

Чи є докази того, що проблема зупинки не визначена, що не залежить від показу, що HALT не може вирішити сам себе, а також не залежить від аргументу діагоналізації?

Невелика редакція: я покладусь на оригінальну фразування запитання, яка вимагає доказів, які взагалі не залежать від діагоналізації (а не просто того, що вимагає, щоб воно не залежало від діагоналізації, що залежить від HALT).

Так, є такі докази в теорії обчислюваності (також теорія рекурсії).

Ви можете спочатку показати , що проблема зупинки (безліч ) можна використовувати для обчислення безлічі G ⊆ N , яке 1-родове значення , яке в певному сенсі кожен Σ 0 1 факт про G вирішується кінцевим префіксом G . Тоді легко довести, що такий множина G не може бути обчислена (тобто вирішувана).$0'$$G\subseteq\mathbb N$$\Sigma^0_1$$G$$G$$G$

Тут ми могли б замінити 1- загальний на 1-випадковий, тобто випадковий Мартін-Леф , для того ж ефекту. Тут використовується теорема низьких основ Джокуша-Соара .

(Попередження: можна розглянути лише показ, що обчислює Ω Хайтіна , що є 1-випадковою, але тут ми повинні бути обережними, чи доказ того, що Ω є 1-випадковим, покладається на те, що проблема зупинки не визначена! Тому безпечніше просто використовуйте теорему низьких основ).$0'$$\Omega$$\Omega$

Повідомлення з мого коментаря відповідно до запиту:

Почніть із зауваження, що існують невирішені проблеми (простий аргумент про кардинальність), і тим більше, що існує невідрізна проблема P, яка має TM M, який розпізнає своїх членів (але може не припинятись для не членів). Тепер, розв’язуючи HALT (M), ви даєте рішення для P. Спочатку перевіряємо, чи зупиняється M на x. Якщо це так, ми запускаємо його і повертаємо те саме, що і M. Інакше ми відкидаємо, оскільки M зупиняється на кожному члені P. Це тепер суперечність, оскільки ми вважали, що P не можна визначити.

Примітка. Він уточнив, що шукає аргумент, який уникає діагоналізації безпосередньо за допомогою HALT, а не аргумент, який повністю уникає діагоналізації.

EDIT: Цей аргумент застряг. Чи можете ви прямо показати, що RE - REC не порожній, окрім того, що ви показали, що HALT знаходиться там?

Ще один плакат на це натякав (посилаючись на Чайтіна), але ви можете використовувати парадокс Беррі, щоб довести, що проблема зупинки не вирішена. Ось короткий нарис доказу:

Нехай HALT - це машина, яка вирішує, чи зупиняється якась машина M на вході I. Ми покажемо, що HALT сам не зупиняється на певному вході, що свідчить про те, що він не може визначити мову.

Розглянемо наступну функцію f:

f (M, n) = a, де a - найменше додатне ціле число, яке не можна обчислити машиною M на будь-якому вході I з | I | <n

Якщо припустити, що HALT є обчислювальною функцією, f також є обчислювальною функцією; просто імітуйте HALT (M, I) для кожної машини M та введення рядка I довжиною I менше n. Якщо моделювання зупиняється, то моделюйте M (I) і запишіть, що таке вихід, і знайдіть найменший вихід a, який не виводиться жодною з M, n пар.

Тепер ми покажемо, що f не обчислюється: розглянемо f (f, 10000000 * | f | +10000000). Що б воно не виходило, воно повинно бути (позитивним) цілим числом, яке не можна обчислити машиною, що обчислює f на вході I, довжиною меншою за задану ... і все ж ми щойно вивели таке ціле число з f і набагато швидше вхід.

Таким чином, f не обчислюється, і тому наше припущення, що HALT було обчислено, є помилковим. Я не вірю, що цей доказ використовує діагоналізацію.

$\{W_e\}_{e=1}^{\infty}$$f$$e$$W_e = W_{f(e)}$$0$$f$$e$$0$$W_e$$0$$e$$W_e(0)$$W_{f(e)}(0)$