Час обкладинки спрямованих графіків

Враховуючи випадкову ходу на графіку, час покриття - це перший раз (очікувана кількість кроків), коли кожна вершина була вдарена (охоплена) ходою. Для підключених ненаправлених графіків час покриття, як відомо, є верхньою межею на $O(n^3)$ . Існують сильно пов'язані диграфи з експоненціалом часу покриття в $n$ . Прикладом цього є Орграф , що складається з орієнтованого циклу $(1, 2, ..., n, 1)$ , а ребра $(j, 1)$ , з вершин $j = 2, ..., n − 1$ . Починаючи з вершини$1$ , очікуваний час для випадкової ходи до вершини$n$ дорівнює$\Omega(2^n)$ . У мене є два питання:

1) Назвіть відомі класи спрямованих графіків з поліноміальним часом покриття? Ці класи можуть характеризуватися графіко-теоретичними властивостями (або) властивостями відповідної матриці суміжності (скажімо, $A$ ). Наприклад, якщо $A$ симетричний, то час покриття графа є многочленом.

2) Чи є більш прості приклади (наприклад, згаданий приклад циклу), де час покриття експоненціальний?

3) Чи є приклади з квазіполіноміальним часом покриття?

Я вдячний за будь-які вказівки на хороші опитування / книги на цю тему.

Очевидно, що час змішування многочленів передбачає час покриття поліном. (Ну, не взагалі. Нам потрібна стаціонарна ймовірність принаймні у кожній вершині.) Тому перевіряйте папір Михайла. Провідність та конвергенція ланцюгів Маркова - комбінаторна обробка розширювачів, що доводить швидке змішування регулярних спрямовані графіки та загальні ланцюги Маркова на основі провідності.$1/poly(n)$

Також дивіться статтю Псевдовипадкові прогулянки на звичайних фотографах та проблему RL vs. L Рейнгольда, Тревізана та Вадхана. Слідом за роботою Михайла. Вони визначили параметр який еквівалентний λ 2 ( G ) , другому за величиною власним значенням за абсолютним значенням, коли графік G є реверсивним часом і залишається чітко визначеним для загальних ланцюгів Маркова. Цей параметр потім використовується для пов'язаного часу перемішування в G .$\lambda_\pi(G)$$\lambda_2(G)$$G$$G$

Колін Купер та Алан Фриз мають набір результатів у контексті випадкових диграфів, які можуть представляти інтерес. Вони вивчають властивості простої випадкової прогулянки на випадково спрямованому графіку коли n p = d log n , d > 1 . Вони довели, що:$D_{n,p}$$np=d \log n, d>1$

• Для , whp час обкладинки D n , p асимптотичний d log ( d / ( d - 1 ) ) n log n . Якщо d = d ( n ) → ∞ з n , час покриття є асимптотичним до n log n .$d > 1$$D_{n,p}$$d \log (d/(d-1)) n \log n$$d=d(n) \rightarrow \infty$$n$$n \log n$

• Якщо і d > 1, то whp C G n , p ∼ d log ( d / ( d - 1 ) ) n log n .$p = d \log n/n$$d>1$$C_{G_{n,p}} \sim d \log (d/(d-1)) n \log n$

• Нехай і нехай х позначимо рішення в ( 0 , 1 ) з х = 1 - е - д х . Нехай X g - гігантська складова G n , p , p = d / n . Тоді whp C X g ∼ d x ( 2 - x $d>1$$x$$(0,1)$$x = 1-e^{-dx}$$X_g$$G_{n,p},p=d/n$$C_{X_g} \sim \dfrac{dx(2-x)}{4(dx-\log d)} n (\log n)^2$

• $r \geq 3$$G_{n,r}$$r$$[n]$$r \geq 3$$C_{G_{n,r}} \sim \dfrac{r-1}{r-2} n \log n$.

• If $m \geq 2$ is a constant and $G_m$ denotes a preferential attachment graph on average degree $2m$ then whp $C_{G_m} \sim \dfrac{2m}{m-1} n \log n$.

• If $k \geq 3$ and $G_{r,k}$ is a random geometric graph in $\mathcal{R}^k$ of ball size $r$ such that the expected degree of a vertex is asymptotic to $d \log n$, then whp $C_{G_{r,k}} \sim d \log ( \dfrac{d}{d-1}) n \log n$.

See Cooper, C., & Frieze, A. Stationary distribution and cover time of random walks on random digraphs. Journal of Combinatorial Theory, Series B. (2011).