Встановити кришку для матриць перестановки

Враховуючи набір S nxn матриць перестановки (що є лише невеликою часткою з n! Можливих матриць перестановки), як ми можемо знайти підмножини мінімального розміру T з S такі, що додавання матриць T має принаймні 1 у кожному положенні?

Мене цікавить ця проблема, коли S - невелика підгрупа S_n. Мені цікаво, чи можна знайти (і реалізувати!) Алгоритми наближення, які набагато швидше, ніж жадібні алгоритми (запускайте багато разів, поки йому не пощастило, що це дуже повільна процедура, але, тим не менш, вона дала кілька близьких оптимальних меж у невеликих випадках) чи непіддатливість гарантує, що я не можу.

Кілька простих фактів про цю проблему: Тривалість n циклічних груп матриць перестановки, звичайно, оптимально вирішує цю проблему. (Потрібно, принаймні, n матриць, оскільки кожна матриця перестановки має n та потрібні n ^ 2.)

Набори S, які мене цікавлять, не мають в них n-циклічної групи.

Ця проблема - дуже особливий випадок накриття. Дійсно, якщо дозволити X множиною (1,2, ... n) * (1,2, ... n), з n ^ 2 елементами, то кожна матриця перестановки відповідає підмножині n розміру, і я Я шукаю найменший підбірку цих підмножин, що охоплюють X. Сам набір покриття не є гарним способом розглянути цю проблему, тому що наближення загальної задачі про покриття набору.

Єдина причина, чому ця проблема не надто повільна при використанні жадного підходу, полягає в тому, що симетрія в групі перестановок допомагає усунути багато надмірності. Зокрема, якщо S - підгрупа, а T - невелика підмножина, яка є мінімальним набором покриття, то множини sT (помножити T на будь-який елемент групи s) все ще знаходяться в S і все ще є набором покриття (звичайно однакового розміру, тому все ще мінімально.) Якщо вам було цікаво, успішний випадок має n ~ 30 і | S | ~ 1000, при цьому щасливі жадібні результати мають | T | ~ 37. Випадки з n ~ 50 мають дуже погані межі, які потребують дуже тривалого часу.

Підводячи підсумок, мені цікаво, чи є підходи до наближення до цієї проблеми чи все ще достатньо загальних для того, щоб вписатись у якусь теорему непереборності, як це існує для загальної задачі про покриття. Які алгоритми використовуються для наближення пов'язаних задач на практиці? Здається, що можливо щось можливе, оскільки всі підмножини мають однаковий розмір і кожен елемент з’являється з однаковою невеликою частотою 1 / n.

-В

Ось майже щільний аналіз прібліжаемості для випадку , коли S є НЕ потрібно , щоб бути підгрупою симетричної групи.

Ця проблема є окремим випадком Set Cover, і існує простий алгоритм жадного наближення [Joh74]. Якщо позначити k- е гармонічне число як H _k = ∑ _{i = 1} ^k 1 / i , жадібний алгоритм досягає відношення наближення H _n = ln n + Θ (1). (Існує алгоритм [DF97], який призводить до дещо кращого відношення наближення H _n −1/2.) ( Редагувати : Редакція 2 та раніше заявляв коефіцієнт наближення жадного алгоритму гірше правильного значення.)

Більше того, це майже оптимально в наступному сенсі:

Теорема . Набір кришки для матриць перестановки не можна наблизити у співвідношенні наближення (1 − ε ) ln n для будь-якої константи 0 < ε <1, якщо NP ⊆ DTIME ( n ^{O (журнал n n )} ).

Ось ескіз доказу. Пишемо [ n ] = {1,…, n }. Ми побудуємо зменшення з Set Cover:

Встановити
екземпляр обкладинки : додатне ціле число m і колекція C підмножини [ m ].
Рішення : Підмножина D з C така, що об'єднання множин у D дорівнює [ m ].
Мета : мінімізація | Д |.

Відомий результат Фейге [Fei98], що Set Cover не може бути наближений у співвідношенні наближення (1 − ε ) ln m для будь-якої константи 0 < ε <1, якщо NP ⊆ DTIME ( n ^{O (log log n )} ).

Нехай ( m , C ) є екземпляром Set Cover. Ми побудуємо екземпляр ( n , S ) кришки Set для матриць перестановки.

$\pmatrix{0 & 1 \\ 1 & 0}$$\pmatrix{1 & 0 \\ 0 & 1}$i ≤ n (де індекс i +2 інтерпретується як модуль n ). Для 0≤ j ≤ m визначте S _j = { P _E Q ^j : E ∈ C ∪ {{ m +1}}} і S = S ₀ ∪… ∪ S _m .

Претензія . Нехай до бути розміром з мінімальним покриттям [ м ] в C . Тоді розмір мінімальної кришки в S дорівнює ( k +1) ( m +1).

Доказ ескіз . Якщо D ⊆ C - кришка [ m ], ми можемо побудувати кришку T ⊆ S розміром (| D | +1) ( m +1) за T = { P _E Q ^j : E ∈ S ∪ {{ m +1}}, 0≤ j ≤ m }.

З іншого боку, нехай T ⊆ S є кришкою. Зауважимо, що всі матриці в S ₀ є блок-діагоналями з блоками розміром 2 × 2, а інші матриці в S мають 0 у цих блоках. Тому T ∩ S ₀ охоплює ці блоки. Більше того, T ∩ S ₀ містить P _{{ m +1},} оскільки в іншому випадку (2 m +1, 2 m +2) -програма не буде охоплена. Зауважте, що ( T ∩ S ₀ ) ∖ { P _{{ m +1}}} Відповідає набору покриву в C . Тому, | T ∩ S ₀ | ≥ k +1. Аналогічно для будь-яких 0 j j ≤ m , | T ∩ S _j | ≥ k +1. Тому, | T | ≥ ( k +1) ( m +1). Кінець доказового ескізу Позову .

За твердженням, побудоване вище зменшення зберігає коефіцієнт наближення. Зокрема, вона встановлює теорему.

Список літератури

[DF97] Ронг-Чий Дух та Мартін Фюрер. Апроксимація k- набору покриття напівлокальною оптимізацією. У матеріалах двадцять дев'ятого щорічного симпозіуму АСМ з теорії обчислень (СТОК) , стор. 256-264, травень 1997 р. Http://dx.doi.org/10.1145/258533.258599

[Fei98] Уріель Фейге. Поріг ln n для наближення кришки набору. Журнал ОСББ, 45 (4): 634–652, липень 1998 р. Http://dx.doi.org/10.1145/285055.285059

[Джон74] Девід С. Джонсон. Алгоритми наближення комбінаторних задач. Журнал комп'ютерних та системних наук , 9 (3): 256–278, грудень 1974 р. Http://dx.doi.org/10.1016/S0022-0000(74)80044-9

Під час обіду в Брюсселі ми довели, що ця проблема є NP-Hard досить коротким зниженням від 3SAT. Наші докази не призводять до непереборності результату (поки що). Ми детальніше подумаємо про це.

Приблизно ви перетворюєте 3-SAT-примірник (з n змінними та c-пропозиціями) у ряд перестановок, структурованих таким чином:

1 ... n для нумерації n змінних n + 1, використовуваних гаджетом змінної n + 2, n + 3, що представляє 1-й пункт ... n + 2j, n + 2j + 1, що представляє j-й пункт n + 2c + 2 використовується сміттєзбірником

змінна xi представлена ​​перестановкою 1, ..., i-1, n + 1, i + 1, ..., n, i, ... і заміною n + 2j + 1, n + 2j для кожного пункту де j, де з'являється xi; і перестановка 1, ..., i-1, n + 1, i + 1, ..., n, i, ... і заміна n + 2j + 1, n + 2j для кожного пункту, де j де - з'являється xi.

Потім ми використовуємо сміттєзбірник, щоб розмістити кожен номер у такому місці, де воно не могло з’явитися інакше. Щоб розмістити х у положенні y, поставимо y в положення n + 2c + 2 і n + 2c + 2 у положення x. У нас буде рівно n + 2c-1 таких сміттєзбірників для кожної змінної та 2 (n + 2c-1) для кожної статті. 3SAT є задоволеним, якщо ми можемо вибрати саме одну з 2 перестановок для кожної змінної, якщо кришка набору перестановок має рішення розміру n + (n + 2c-1) (n + 2c).

Напевно, для невеликих примірників відсутні деякі незначні деталі.

Стефан.