Чи є ланцюги змінного струму двоколірними?

Для $A\subset [n]$ позначимо через $a_i$$i^{th}$ найменший елемент $A$ .

Для двох наборів елементів, , ми говоримо, що якщо для кожного .$k$$A,B\subset [n]$$A\le B$$a_i\le b_i$$i$

рівномірне гіперграфах , називається зрушенням ланцюгом , якщо для будь-яких гіперреберов, , ми маємо або . (Отже, ланцюг зсуву має максимум гіпередач.)$k$${\mathcal H}\subset [n]$$A, B \in {\mathcal H}$$A\le B$$B\le A$$k(n-k)+1$

Ми говоримо, що гіперграф ${\mathcal H}$ є двоколірним (або що він має властивість B), якщо ми можемо пофарбувати його вершини двома кольорами таким чином, щоб жоден гіперпередач не був однотонним.

Чи правда, що ланцюги зсуву двоколірні, якщо $k$ досить великий?

Зауваження. Я вперше опублікував цю проблему на mathoverflow , але ніхто її не коментував.

Проблема була досліджена на 1-му семінарі "Емлектабла" для отримання часткових результатів, див. Буклет .

Питання мотивоване розкладанням декількох покриттів площини перекладами опуклих фігур, у цій галузі є багато відкритих питань. (Докладніше див. Мою кандидатську дисертацію .)

Для $k=2$ існує тривіальний контрприклад: (12), (13), (23).

Радослав Фулек з комп’ютерною програмою дав дуже магічний контрприклад для $k=3$ :

(123), (124), (125), (135), (145), (245), (345), (346), (347), (357),

(367), (467), (567), (568), (569), (579), (589), (689), (789).

Якщо допустимо, щоб гіперграф був об'єднанням двох ланцюгів зсуву (з однаковим порядком), то існує контрприклад для будь-якого $k$ .

Оновлення. Нещодавно мені вдалося показати, що більш обмежена версія зсувних ланцюгів є двоколірною в цьому препринті .

Постійна щедрість! Я радий нагородити нагороду в 500 доларів за будь-який час!

Це не відповідь. Далі йде простий доказ того, що побудова для k = 3 насправді є контрприкладом. Я думаю, що запитувач знає це доказ, але я все-таки опублікую його, тому що доказ хороший і це може бути корисним, коли люди розглядають випадок більшого k .

Неважко переконатися, що це ланцюг зсуву. Покажемо, що в ньому немає властивості B.

Насправді підгіперграф {(123), (145), (245), (345), (346), (347), (357), (367), (467), (567), (568), (569), (789)} вже не задовольняє властивості B. Щоб побачити це, припустимо, що цей гіперграф має двокольорове забарвлення, і нехай c _i є кольором вершини i . Подивіться на три гіпереграми (145), (245), (345). Якщо c ₄ = c ₅ , то всі 1, 2 і 3 повинні бути протилежного кольору c ₄ , але це дало б монохроматичну гіпереграму (123). Тому повинно бути так, що c ₄ ≠ c ₅ . Аналогічно

• c ₃ ≠ c ₄ , порівнюючи три гіпереграми (345), (346), (347) та помічаючи гіперпередачу (567).
• c ₆ ≠ c ₇ , порівнюючи три гіпереграми (367), (467), (567) та помічаючи гіперпередачу (345).
• c ₅ ≠ c ₆ , порівнюючи три гіпереграми (567), (568), (569) та помічаючи гіперпередачу (789).

Тому маємо c ₃ ≠ c ₄ ≠ c ₅ ≠ c ₆ ≠ c ₇ . Але це означає, що c ₃ = c ₅ = c ₇ , що робить hyperedge (357) однотонним. Це суперечить припущенню 2-х забарвлень.

Можливо, мені чогось не вистачає, але я думаю, що існує хороша нижня межа з імовірнісним методом:

Якщо колір кожної вершини indepedently з ймовірністю для кожного кольору , то ваш мають монохроматический край з ймовірністю 2 ⋅ ( $1/2$$2 \cdot (\dfrac{1}{2})^k = 2^{-k+1}$$B$

$O(\sqrt{k/\ln(k)} \cdot 2^k)$$k$$B$