Порівнюючи складність теорій Колмогорова

Теорема про незавершеність Хайтіна говорить, що недостатньо сильна теорія арифметики не може довести $K(s) > L$ де $K(s)$ - складність Колмогорова рядка $s$ а $L$ - досить велика константа. $L$ є досить великим , якщо він більше , ніж розмір в бітах пробної перевірки машини (PCM). РСМ для теорії $T$ приймає рядок , закодовану як ціле число в якості вхідних даних і виводить 1 , якщо рядок є допустимим доказом на мові $T$ .

Припустимо, що $L(T) > |PCM_T|$для теорії $T$ являє собою верхню межу для складності $T$ . Розглянемо наступну ієрархію теорій: Нехай базовою теорією буде арифметика Робінсона ( $Q$ ). Розширення $Q$ із дедалі сильнішими аксіомами поліноміально обмеженої індукції. Нехай $Q^*$ - теорія теорем, доказна з $Q$ і будь-яка з цих обмежених аксіом індукції. Припустимо, ми можемо визначити $L(Q)$ і $L({Q^*})$ шляхом визначення ПКМ для кожної теорії.

Хочу розглянути розширену перевірочну машину (EPCM) на $Q^*$ . Цей EPCM приймає рядок як вхід так само, як ECM, і має другий вхід, який визначає ранг і рівень підтеорії $Q^*$ . Якщо вхідний рядок є дійсним доказом у $Q^*$ то EPCM проходить кроки доказування для визначення найвищого рангу та рівня використовуваної індукції. Потім цей EPCM пише 1, якщо вхідне речення є вагомим доказом у зазначеній підтеорії $Q^*$ .

Чи здійснена розширена перевірка перевірки, яку я описую? Якщо так, то чи буде розмір цієї EPCM верхньою межею не лише для складності , але й верхньою межею щодо складності будь-якої підтеорії Q ∗ ?$Q^*$$Q^*$

Чи доцільно сказати, що існує постійна верхня межа складності та всіх його підтеорій?$Q^*$

---

Це питання було натхнене невдалим доказом Нельсона невідповідності арифметики. Я цього не зазначав раніше, тому що деякі люди вважають цей доказ тривожним. Моя мотивація - задати цікаве запитання. Здається, CSTheory є правильним форумом для цього питання. Складність та всіх його підтеорій обмежена постійною або необмеженою. Будь-яка відповідь призводить до більшої кількості питань.$Q^*$

Якщо складність підтеорій не обмежена, ми можемо задавати такі питання, як найслабша підтеорія складніша за Q ∗ ? Або складніше, ніж PA та ZFC? Роздумуючи над цим питанням, мені вже показали, існує сувора обмеження щодо того, наскільки теорія може довести складність струн Колмогорова. Якщо Q ∗ послідовний, жодна його підтеорія не може довести K ( s ) > L ( Q ∗ ) для будь-якого рядка. Це означає, що навіть дуже сильні підтеорії не можуть довести, що є складніші рядки, ніж деякі значно слабкіші під-теорії, де слабша теорія є складнішою, ніж $Q^*$$Q^*$$Q^*$$K(s) > L(Q^*)$ .$Q^*$

Я спробую дати відповідь на це питання та спробую прояснити певну плутанину щодо точної форми запитання.

Перше , що я хочу зробити: в утвердженні постійної Чайтіну, дійсно , функція Т . В абсолютному значенні воно монотонне в виразності T : якщо L ( T ) - найменше натуральне число, для якого T ⊬ K ( s ) ≥ L ( T ) для будь-якого рядка s , то якщо T ′ є послідовною теорією сильніший за T ( T ⊢ φ означає T $L$$T$$T$$L(T)$

$$T\not\vdash K(s)\geq L(T)$$ $s$$T'$$T$$T\vdash\varphi$ для будь-якого арифметичного речення φ ), тоді L ( T ′ ) ≥ L ( T ) . Аргумент дуже простий: якщо існує s така, що T ⊢ K ( s ) ≥ L, то T ′ ⊢ K ( s ) ≥ L за гіпотезою.$T'\vdash\varphi$$\varphi$$L(T')\geq L(T)$$s$$T\vdash K(s)\geq L$$T'\vdash K(s)\geq L$

Однак це справедливо лише в тому випадку, якщо є абсолютною постійною Хайтіна. Зокрема, якщо T ' доводить C o n ( T ) , то T ′ ⊢ ∃ L ∀ s ⌈ T ⊬ K ( ¯ s ) ≥ ¯ L$L(T)$$T'$$\mathrm{Con}(T)$

$$T'\vdash \exists L\forall s\ \lceil T\not\vdash K(\overline{s})\geq \overline{L}\rceil$$

інтерналізуючи аргумент Хайтена. Тим НЕ менше , А бетон , для якого$l$

$$T'\vdash\forall s\ \lceil T\not\vdash K(\overline{s})\geq\overline{l}\rceil$$

взагалі не буде рівним $L(T)$ . Зокрема, він може бути набагато більшим, як правило, пропорційним розміру доказування в T $\mathrm{Con}(T)$$T'$ . Це можна легко побачити в доказі самої теореми, яка в вирішальною мірою спирається на несуперечності .$T$

Отже, хоча може довести узгодженість системи з обмеженою індукцією, довжина цих доказів стає довшою, чим ближче ви отримаєте виразність Q ∗ (один із способів зрозуміти теореми незавершеності - це те, що довжина стає нескінченною, коли ви досягнете Q ∗ , таким чином, він не має кінцевих доказів послідовності в самому Q ∗ ). Таким чином, те ж саме стосується різних верхніх меж внутрішнього L ( T ) s Q ∗, які можна описати для кожної підтеорії.$Q^*$$Q^*$$Q^*$$Q^*$ $L(T)$$Q^*$

Отже, ось коротка відповідь на ваше запитання: обмежений рівномірно для всіх підтеорій Q ∗ , але сам Q ∗ не може показати, що ця межа має місце для всіх таких підтеорій. Це була найважливіша помилка, яку зробив Нельсон (похований під декількома шарами формалізму), і що тут вказав Дао .$L(T)$$Q^*$$Q^*$