Обчислювальні наслідки теореми Фрідмана (недоказуваної) верхньої зсуву з фіксованою точкою?

Гарві Фрідман показав, що існує чіткий результат з фіксованою точкою, який неможливо довести в ZFC (звичайна теорія множин Зермело-Франкеля з аксіомою вибору). Багато сучасних логік побудовані на операторах з фіксованою точкою, тому мені було цікаво: чи відомі якісь наслідки теореми з фіксованою точкою верхнього зсуву для теоретичної інформатики?

Теорема нерухомої фіксованої точки верхнього зсуву
Для всіх деякий текст містить .$R \in \text{SDOI}(Q^k,Q^k)$$A = \text{cube}(A,0) \setminus R[A]$$\text{us}(A)$

Теорема USFP, схоже, є твердженням , тому вона може бути "досить близькою" до обчислюваності (наприклад, перевірки неізоморфізму автоматичних структур), щоб вплинути на теоретичну інформатику.$\Pi^1_1$

Для повноти, ось дефініції з розмови Фрідмана про MIT від листопада 2009 року (див. Також проект книги "Булева теорія відносин" ).

$Q$ - сукупність раціональних чисел. - еквівалент порядку, якщо коли-небудь то . При , то верхній зрушення по , позначається , виходять шляхом додавання 1 до кожного неотрицательной координаті . Ставлення є порядок інваріантним , якщо для будь-якого порядку інваріантної еквівалентної справедливо , що . Відношення$x, y \in Q^k$$1 \le i,j \le k$$x_i \lt x_j \Leftrightarrow y_i \lt y_j$$x \in Q^k$$x$$\text{us}(x)$$x$$A \subseteq Q^k$ x ∈ A ⇔ y ∈ A R ⊆ Q k × Q $x,y \in Q^k$$x \in A \Leftrightarrow y \in A$$R \subseteq Q^k \times Q^k$є інваріантним порядком, якщо є інваріантним порядком як підмножиною , і є строго домінуючим, якщо для всіх всякий раз, коли то . Далі, якщо A є підмножиною Q ^ k, тоді R [A] позначає \ {y | \ існує x \ в AR (x, y) \} , верхній зсув A - \ текст {us} (A) = \ {\ текст {us} (x) | x \ в A \} , а \ текст {куб} (A, 0) позначає найменший B ^ k такий, що 0 \ в B і A міститься в B ^ k . ДозволяєQ 2 $R$$Q^{2k}$ R ( x , y ) max ( x ) < max ( y $x,y \in Q^k$$R(x,y)$$\max(x) \lt \max(y)$$A$$Q^k$$R[A]$$\{ y | \exists x \in A R(x,y)\}$$A$$\text{us}(A) = \{\text{us}(x) | x \in A\}$$\text{cube}(A,0)$$B^k$$0 \in B$$A$$B^k$$\text{SDOI}(Q^k,Q^k)$ позначає сукупність всіх суворо домінуючих порядкових інваріантних відносин $R \subseteq Q^k \times Q^k$ .

Редагувати: Як в коментарях зазначає Домьотёр Палвьолджі, прийняття і як звичайне впорядкування щодо раціональних засобів, здається, дає контрприклад. По-перше, множина не може бути порожньою, оскільки тоді також порожня, і потім повинен був містити 0 за умови куба, суперечливість. Якщо не порожній множина має інфінім, то він не може містити більше раціональних, ніж це, тому він повинен бути сингл, що суперечить умові верхнього зсуву. Якщо ж з іншого боку не має мінімальних значень, тоді тому повинен бути порожнім, суперечність. $k=1$$R$$A$$R[A]$$A$$A$$A$$R[A] = Q$$A$Будь-які зауваження щодо того, чи є якісь приховані неочевидні визначені проблеми, такі як, можливо, неявна нестандартна модель раціоналів?

Подальше редагування: Аргумент, наведений вище, є приблизно правильним, але неправильний у застосуванні верхнього зміщення. Цей оператор застосовується лише до негативних координат, тому встановлення на будь-який негативний однотонний набір дає необхідну фіксовану точку. Іншими словами, якщо то є рішенням, а інших рішень немає.$A$$m < 0$$A = \{m\}$

Я не знаю жодних наслідків цієї конкретної теореми, але докази нормалізації обчислень лямбда, як числення індуктивних конструкцій, покладаються на великі кардинальні аксіоми - навіть якщо набір лямбда-термінів настільки підрахунковий, як ви могли б хотіти.

Я думаю, що найкращим способом зрозуміти обчислювальну значущість теоретико-множинних аксіом, що стверджують існування великих кардиналів, є думка теорії множин як способу формулювання теорії графів. Тобто модель набору - це сукупність елементів, оснащених бінарним відношенням, що використовується для інтерпретації членства. Потім аксіоми теорії множин розповідають про властивості відношення членства, включаючи те, як можна формувати нові множини зі старих. Зокрема, аксіома заснування означає, що відношення членства є обґрунтованим (тобто воно не має нескінченних низхідних ланцюгів). Ця обґрунтованість, в свою чергу, означає, що якщо ви можете вирівняти стани виконання програми з перехідною приналежністю елементів набору, то у вас є доказ припинення.

Отже, твердження про те, що існує "великий" набір, має обчислювальну виплату як твердження про те, що певний клас циклів у загальній рекурсивній мові програмування закінчується. Ця інтерпретація працює рівномірно, аж від простої старої аксіоми нескінченності (яка виправдовує ітерацію природного числа) аж до великих кардинальних аксіом.

Чи справжні ці аксіоми ? Добре, якщо аксіома помилкова, ви можете знайти програму в одному з цих класів, яка не припиняється. Але якщо це правда, ми ніколи не будемо впевнені, завдяки теоремі Холтінга. Все, починаючи з індукції природного числа, - це питання наукової індукції, яке завжди може бути сфальсифіковано експериментом - Едвард Нельсон, мабуть, сподівався довести, що експоненція є частковою функцією!