Чи константа Чегера -тверда?

Я незліченно читав у багатьох статтях, що визначення константи Чегера графа є -hard. Здається, це народна теорема, але я ніколи не знайшов ні цитати, ні доказу цього твердження. Кому я повинен за це дати кредит? У старому документі (Ізопериметричні номери графіків, Дж. Комб. Теорія Б, 1989) Мохар лише доводить це твердження «для графіків з декількома краями». $\mathsf{NP}$

reference-request graph-theory spectral-graph-theory

— Деліо М.
джерело

Відповіді:

Я теж стикався з цим питанням, коли писав документ, який вимагав цитування твердості розширення краю (або постійної ), визначеної як. Класичний документ Лейтона і Рао про роздільники ( http://dl.acm.org/citation.cfm?id=331526 ) зазначає, що це складна проблема і стосується документа Гарі, Джонсона та Стокмейєра ( http: / /www.sciencedirect.com/science/article/pii/0304397576900591 $\min_{S \subset V, |S| \leq |V|/2} |\delta(S)|/|S|$ ). Я не міг деякий час зрозуміти, про що вони мають на увазі, оскільки в згадуваній роботі немає згадки про розширення краю. Я спілкувався з Аві Вігдерсоном про це. Нарешті з'ясувалося, що можна використовувати твердість Max-Cut, як показано в роботі Garey et al., Щоб порівняно легко показати, що розширення краю є важким. Зараз я забуваю деталі, але відтворити це не повинно бути важко. Документ Blum etal про твердість перевірки того, чи є графік суперконцентратором, не передбачає безпосередньо твердість розширення краю. Технічно це не одна і та ж проблема.

— Чандра Чекурі
джерело

Мій папір, який використовує жорсткість крайового розширення, є нижчим на сайті onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/net.20165/abrief . Ми посилаємось на папір Лейтона-Рао та паперу Гарі, Джонсона, Стокмейєра щодо твердості розширення краю.

— Чандра Чекурі

Спасибі! Отже, технічно кажучи, твердість визначення константи Чегера недоведена в літературі?

— Деліо М.

@DelioM. посилання Кайбел в одній з відповідей Мухаммеда має повне підтвердження. Це просто скорочення Гарі-Джонсона-Стокмейєра від невагомого максимального розрізу до мінімуму бісекції, з коротким підтвердженням того, що в графіках, отриманих від скорочення, найрідкісніший зріз є бісекцією.

— Сашо Ніколов

Хоча, мушу зізнатися, я загублений. Я завжди думав, що максимальне скорочення пов'язане з питанням про те, як характеризувати графік "наскільки двосторонній". Як це може допомогти знайти графік "наскільки пов'язаний"? Як еквівалентно, як друге найнижче власне значення безнадійного лаплаціана може пов'язати друге нижнє власне значення лаплаціана? Що нижнє обмеження є очевидним, але верхня межа?

— Деліо М.

@DelioM. Макс розрізання спочатку зводиться до мінімуму розбиття, додаючи більше вершин і беручи доповнення до отриманого графа. Таким чином, це зменшення стосується того, наскільки близьким є двосторонній один графік до того, як пов'язаний інший графік (пов'язаний із доповненням першого).

n

$n$

— Сашо Ніколов

Фактичний доказ стійкості обчислювальної постійної Чегера (або розширення краю) був наданий Кайбелом у технічному звіті шляхом зменшення від задачі MAX Cut (Див. Теорему 2). Доказ - це розширення доказу -стійкості задачі на еквівалент, заданий Гарі, Джонсоном та Стокмейєром у деяких спрощених задачах NP-повного графіка . $NP$ $NP$

В. Кайбель: Про розширення графіків 0/1-політопів. Технічний звіт arXiv: математика.CO/0112146, 2001

EDIT : Нижче наведений аргумент є невірним , як вказував Чекурі, і залишається для навчальних цілей.

Це не посилання, як ви просили, але це пояснює фольклорний статус результату твердості.

Ось доказове уявлення про повноту CoNP для вирішення того, чи пов'язаний кубічний графік є крайовим розширювачем, і тому визначення константи Шегера є CoNP-жорстким. $h(G)$

Проблема мінімальної бісекції - незавершена $NP$ для з'єднаних кубічних графіків. Тут ми хочемо вирішити, чи можна графік з цілим числом розділити на дві частини однакового розміру, так що кількість відрізаних ребер менше . $G$ $k$ $k$

Зауважте, що доповнення цієї проблеми еквівалентне вирішенню, граф є розширювачем чи ні (кожен збалансований розділ має відрізані ребра більше ). $G$ $V$ $k$

PS Arora на цьому семінарі зазначає, що -важко розпізнати графік-розширювач (краю-розширення). http://www.cs.princeton.edu/~zdvir/apx11slides/arora-slides.pptx $CoNP$ $\alpha$

— Мохаммед Аль-Туркстані
джерело

Цей доказ також не працює, тому що розмір мінімальної бісекції нічого не говорить про розширення краю сам по собі. Наприклад, від'єднаний графік на вершинах може мати мінімальну бісекцію .

2 n

$2n$

(n - 2)^{2}

$(n-2)^2$

— Сашо Ніколов

Графік пов'язаний кубічним графіком і для цього класу мінімальна задача розбиття є NP-повною.

G

$G$

— Мохаммед Аль-Туркстані

@SashoNikolov Я ніколи не бачив, щоб хтось зацікавився розширенням відключених графіків.

— Мохаммед Аль-Туркстані

Арора, а не Аврора. Я не сумніваюся, що вирішити важко coNP. Але у двох відповідях ви не дали ні посилання з доказом, ні доказу. Від'єднані графіки мають лише показати вам, що ваші аргументи неправдиві. Не працює і ваше "виправлення". Я можу легко показати вам підключений кубічний графік з великим мінімальним розділенням і постійною Чегером довільно близьким до нуля. Дві проблеми пов'язані, але не в тому банальному способі, який ви пропонуєте.

h (G) \geq α

$h(G) \geq \alpha$

— Сашо Ніколов

@ MohammadAl-Turkistany: Візьміть два з’єднані безмостові кубічні графіки, які є розширювачами, один із вершинами 2n, а другий з n вершинами та з'єднайте їх трьома ребрами, додавши по 3 нових вершини з кожної сторони, розділяючи 3 ребра. Тепер мінімальна бісекція буде великою ( ), оскільки вам потрібно відрізати хороший шматок більшого розширювача, але розширення невелике, тому що ви можете розділити два розширювачі, вирізавши лише 3 ребра.

Ω (n)

$\Omega(n)$

— Чандра Чекурі