Чи відомо, що існують функції із таким властивістю прямої суми?

Це питання можна задати або в рамках складності схем булевих ланцюгів, або в рамках теорії алгебраїчної складності, або, ймовірно, в багатьох інших умовах. Легко показати, перераховуючи аргументи, що існують булеві функції на N входах, які потребують експоненціально багатьох воріт (хоча, звичайно, у нас немає явних прикладів). Припустимо, я хочу оцінити ту саму функцію M разів, для деякого цілого числа M, на M різних наборах входів, так що загальна кількість входів становить MN. Тобто, ми просто хочемо , щоб оцінити для однієїтієї ж функціїFв кожен момент часу.$f(x_{1,1},...,x_{1,N}), f(x_{2,1},...,x_{2,N}),...,f(x_{M,1},...,x_{M,N})$$f$

Питання: чи відомо, що існує послідовність функцій (одна функція для кожного N) така, що для будь-якого N, для будь-якого М загальна кількість необхідних воріт принаймні дорівнює M разів експоненціальній функції N? Простий аргумент підрахунку, здається, не працює, оскільки ми хочемо, щоб цей результат мав місце для всіх М. Можна запропонувати прості аналоги цього питання в теорії алгебраїчної складності та інших областях.$f$

Ну, це помилково: можна оцінити M копій будь-якого f, використовуючи лише ворота O (N (M + 2 ^ N)), які можуть бути набагато меншими, ніж M * exp (N) (адже ви отримуєте лінійну амортизацію складність для експоненціальної М). Я не пам'ятаю посилання, але я думаю, що це може мати щось на зразок наступного:

Спочатку додайте 2 ^ N фіктивні входи, які є просто константами 0 ... 2 ^ N-1, а тепер позначаємо i-й N-бітний вхід через xi (тому для i <= 2 ^ N у нас є xi = i, а для 2 ^ N <i <= 2 ^ N + M маємо вихідні входи). Тепер ми створюємо триплет для кожного з входів M + 2 ^ N: (i, xi, fi), де fi - f (i) для перших 2 ^ N входів (константа, яка введена в ланцюг) і fi = "*" інакше. Тепер ми сортуємо триплети (i, xi, fi) відповідно до ключа xi, і нехай j'th триплет буде (i_j, x_j, f_j) з цього обчислюємо триплет (i_j, x_j, g_j), дозволяючи g_j бути f_j, якщо f_j не є "*", і нехай g_j буде g_ (j-1) в іншому випадку. Тепер відсортуйте нові трійки назад за ключем i_j, і ви отримали правильні відповіді в потрібних місцях.

$O(2^n/n)$$m$$m$$f$$m 2^n/n$

"Мережі, що обчислюють булеві функції для кількох вхідних значень"

$m = 2^{o(n/\log n)}$$m$$f$$O(2^n/n)$$m = 1$

Я не можу знайти в Інтернеті копію, яка не є закритою, або домашню сторінку автора, але в цій роботі я натрапив на роботу:

Булева функціональна складність (серія лекцій Лондонського математичного товариства)

Щодо алгебраїчної складності, я не знаю приклад, коли експоненціальна складність зводиться до субекспоненціальної амортизованої складності, але, принаймні, є простий приклад того, що складність M-роз'єднаних копій може бути значно меншою, ніж M-кратність складності однієї копії :

Для "випадкової" n * n матриці A складність білінеарної форми, визначеної A, (функція f_A (x, y) = xAy, де x і y - 2 вектори довжини n) - Омега (n ^ 2 ) - це може бути показано аргументом виміру "схожий на кількість", оскільки для введення констант вам потрібно n ^ 2 "місця". Однак, з огляду на n різних пар векторів (x ^ 1, y ^ 1) ... (x ^ n, y ^ n), ви можете помістити x у рядки n * n матриці X, і аналогічно y в стовпці матриці Y, а потім прочитайте всі відповіді x ^ iAy ^ i з діагоналі XAY, де це обчислюється в n ^ 2.3 (або близько того) операціях, використовуючи швидке множення матриці, значно менше n * n ^ 2.

Це вивчив і вирішив Вольфганг Пол, який по суті показав те, що обговорюється.