Числова точність методу підсумовування квадратів?

Я читав трохи про метод збору квадратів (SOS) з опитування Barak & Steurer та лекційних записок Барака . В обох випадках вони підмітали питання чисельної точності під килимом.

З мого (правда, обмеженого) розуміння методу має бути правдою наступне:

Враховуючи будь-яку систему поліноміальних рівностей над реально оціненими змінними , де всі параметри O (1) ( n , | E | та ступінь кожного обмеження), ступінь - " 2n "( = O (1) ) Метод SOS знаходить задовольняюче призначення змінних або доводить, що їх немає в O (1) час. $E$$x \in \mathbb{R}^n$$O(1)$$n$$|E|$$2n$$=O(1)$$O(1)$

Перше моє питання - чи правдива вищезазначена заява (чи є наївний аргумент, який не використовує SOS для вирішення цього питання?). Друге питання - куди підходить числова точність. Якщо я хочу отримати завдання, яке задовольняє всі обмеження в межах точності добавки $\varepsilon$ , то як час виконання залежить від $1/\varepsilon$ ? Зокрема, це багаточлен?

Мотивацією цього є, скажімо, застосування підходу «ділити-перемогти» у великій системі, поки базовий випадок не стане системою $O(1)$ -розміру.

EDIT: Від Барака-Стірера виходить, що " алгоритм підсумків квадратів $l$ " на стор.9 (та абзаци, що ведуть до нього) всі визначають проблеми для рішення над $\mathbb{R}$ , а насправді визначення псевдорозподілу в розділі 2.2 є над $\mathbb{R}$ . Тепер я бачу з леми 2.2, що не гарантується рішення / спростування на рівні $2n$ без бінарних змінних.

Тож я можу трохи уточнити своє запитання. Якщо ваші змінні не є двійковими, турбуєтеся, що послідовність виходів не є кінцевою (можливо, навіть не монотонним збільшенням?). Отже, питання: чи продовжує зростати? І якщо так, то як далеко вам доведеться пройти, щоб отримати точність добавки ? φ ( l )$\varphi^{(l)}$$\varphi^{(l)}$$\varepsilon$

Хоча це, ймовірно, нічого не змінює, я, мабуть, знаю, що моя система є задовільною (немає жодного спростування будь-якого ступеня), тому я насправді просто стурбований тим, наскільки повинен бути великим . Нарешті, мене цікавить теоретичне рішення, а не чисельне вирішення.$l$

Ось коментар Боаза Барака до цього питання:

Ми підмітаємо чисельну точність під килимом - більш "традиційна" SOS література Парріло, Лассер та ін. Займається цими питаннями (наприклад, див. Опитування Моні Лоран та посилання на них). Відомо, що ієрархія є монотонною (не важко побачити, що псуедорозподіл ступеня зокрема, ступінь ), і що вона буде сходитися в кінцевому ступені для будь-якого фіксованого набору рівнянь (це the Positivstellensatz). Точний ступінь може змінюватися. Як правило, якщо всі коефіцієнти многочленів обмежені, і ви намагаєтесь розрізнити випадок, що існує рішення, і той випадок, що в будь-якому призначенні одне рівняння вимкнено , то можна було б визначити це зl - 1 ϵ δ δ $l$$l-1$$\epsilon$$\delta$-net для пов’язаний із кількістю змінних, ступенем рівнянь та , а потім (якщо припустити, що сітка є достатньо «приємною» та «кубом схожою») необхідний ступінь повинен бути приблизно зафіксований розміром мережі.$\delta$$\epsilon$

Я думаю, що моя відповідь, ймовірно, недостатня, але вона залишається для повноти (хоча дивіться коментарі Боаза нижче, напевно, для кращої відповіді)

Коли ми обмежимось булевими змінними, твердження можна побачити, коли для всіх зауваживши, що псевдорозподіли ступеня - це фактичні розподіли, тобто припустимо, що ви мають псевдорозподіл над розв’язками ваших поліномних рівностей задовольняють:i ∈ [ n ] 2 n μ ( x $(x_i^2-1) \in E$$i \in[n]$$2n$$\mu(x)$$x$$E$

∑ x ∈ { - 1 , 1 } n μ ( x ) $\sum_{ x \in \{-1,1\}^n} \mu(x)$ і для всіх многочленів зі ступенем не більше$\sum_{x\in\{-1,1\}^n} \mu(x) p^2(x)\ge0$$p$$n$

Але поліноми градусів включають поліном індикатора (наприклад, має який є все- нуль в іншому місці та 1 за цим завданням). Так для всіх , тому ми приходимо до висновку є фактичним розподілом за рішеннями . Ступінь псевдорозподілів можна знайти, використовуючи напіввизначене програмування для пошуку пов'язаного оператора ступеня очікування псевдоочікування за час, тому ми можемо знайти фактичний розподіл в часіx 1 = 1 , x 2 = - 1 , x 3 = 1 2 - 3 ( 1 + x 1 ) ( 1 - x 2 ) ( 1 + x 3 ) μ ( x ) ≥ 0 x ∈ { - 1 , 1 } n μ E ℓ $n$$x_1 = 1, x_2=-1, x_3=1$$2^{-3}(1+x_1)(1-x_2)(1+x_3)$$\mu(x) \ge 0$$x\in\{-1,1\}^n$$\mu$$E$$\ell$$\ell$ μ n O ( n )$n^{O(\ell)}$$\mu$$n^{O(n)}$використовуючи це псевдоочікування (тепер фактичне сподівання), щоб знайти всі моменти .$\mu$

Отже, якщо , тоді можна знайти розподіл розв’язків на за час. Звичайно, пошук грубої сили гарантує те саме.E O ( 1 $|E| = O(1)$$E$$O(1)$

Однак якщо рішення не обов'язково булеві, тоді псевдоочікування ступеня недостатньо для того, щоб знайти розподіл над рішеннями. Як видно вище, доказ того, що псевдорозподіли ступеня - це фактичні розподіли, залежить від того, що поліноми градусів достатньо для «вибору» окремих задач, що, як правило, не відповідає дійсності. Іншим способом перегляду є те, що булінові змінні многочлени вважаються , тому ступінь кожного одночлена не більше .2 n $2n$$2n$$n$$\mod(x_i^2)$$n$

Наприклад, можна було б розглянути можливість заміни кожної бінарної змінної з 4-кратною змінної, скажімо, в тому числі . Тоді вам доведеться мати ступеня , щоб гарантувати відновлення розподілу над рішеннями.$(x_i^2-1)(x_i^2-4) \in E$$4n$

Тепер, для теоретичних гарантій, схоже, що наближення кореня до системи поліномів також відоме як 17-я проблема Смале, і, мабуть, існує рандомізований (Лас-Вегаський) поліноміальний алгоритм часу, який вирішує це - див. Http://arxiv.org /pdf/1211.1528v1.pdf . Зауважимо, що це здається в моделі Блюм-Шуб-Смале, тому реальні операції є примітивними. Я не впевнений, чи це дає гарантію, що вам потрібна.