Перелік теоретичних чи алгебраїчних задач чисел у різних класах складності

Я шукаю список про відому чи невідому складність різних теоретичних / алгебраїчних задач чисел. Наприклад,

• GCD в відкрито,$NC^1$
• факторинг в відкритий,$P$
• обчислювальна зв'язка когомології - тверда$\#P$ ,
• Арора і Барак стверджують, що варіант факторингу є незавершеним (хоча це не зрозуміло, грунтуючись на обговоренні NP-повного варіанту факторингу. ),$NP$
• Прорив роботи Барбулеску та інших щодо дискретних логарифмів .

Адлеман одного разу опублікував список, орієнтований на і N P, але він здається застарілим. У Мамфорда є документ про те, що можна обчислити в алгебраїчній геометрії, не зважаючи на складність.$P$$NP$

Хто-небудь знає перелік (основних) відкриттів після публікації цих списків?

Назвіть деякі проблеми численного теоретичного / алгебраїчного аромату, класи складності якого, можливо, вже відомі (оскільки були опубліковані вищезазначені списки), невідомі, але гадані, або невідомі і не піддані гіпотезі?

Деякі напрями проблем можуть бути інтерполяційними проблемами (одновимірні або багатоваріантні в різних областях), китайською теоремою залишків, складністю підрахунку точок за кривими тощо.

Алгебраїчна геометрія

• Нетер Нормалізація Лемма (NNL) для явних сортів в даний час тільки відомо, що в (наприклад , загальний NNL), але висловив припущення , що в Р (і в Р в припущенні , що PIT може бути чорний ящик дерадомізовані). Оновлення 4/18/18: Нещодавно було показано, що для сорту ¯ V P він знаходиться в P S P A C E над раціональними ( Forbes & Shpilka), а потім над довільними полями ( Го, Саксена, Сінгабабу ).$\mathsf{EXPSPACE}$$\mathsf{P}$$\mathsf{P}$$\overline{\mathsf{VP}}$$\mathsf{PSPACE}$

• Тестування того, чи має даний набір многочленів алгебраїчну залежність. Ця проблема була недавно показана, що в по Го, Сакса, & Sinhababu (поліпшення попереднього верхньої межі N P # P з - за Mittmann, Саксену, & Scheblechner , а також на Arxiv ).$\mathsf{AM} \cap \mathsf{coAM}$$\mathsf{NP}^{\mathsf{\# P}}$

• Існує декілька ( arXiv ) нових алгоритмів для обчислення топологічних інваріантів складних різновидів (з різними обмеженнями, такими як гладкість тощо). Я вважаю, що для більшості з них оптимальна верхня межа все ще відкрита.

• Nullstellensatz Гільберта (HN): задавши цілі поліноми, вирішити, чи є у них спільний комплексний розв'язок, знаходиться в умови GRH ( Koiran ). Це невідомо , якщо він знаходиться в N P .$\mathsf{AM}$$\mathsf{NP}$

• Алгоритми розв’язування сингулярностей алгебраїчних різновидів у характерному нулі. Тока найкращий час верхня межа , з - за Bierstone, Григор'єв, Milman і Влодарчик є , де d представляє собою розмірність різноманіття і Е ∙ це ієрархія Гжегорчик примітивних рекурсивних функцій . У цій проблемі немає особливо хороших (будь-яких?) Нижчих меж, але для, здавалося б, набагато більш простих проблем, пов'язані нижчі межі, а саме: Є ідеали в n змінних, що генеруються в ступені не більше n, для яких потрібна E n + $\mathcal{E}^{d+3}$$d$$\mathcal{E}^{\bullet}$$n$$n$$\mathcal{E}^{n+1}$такі генератори. Тож нинішня верхня межа для вирішення сингулярностей може бути далеко не правдою, але мало що відомо.

Проблеми ізоморфізму

• Багато проблем з перестановковими групами - такі як перетин козету, ізоморфізм групи перестановки тощо - є в , але невідомо, чи є вони в N P ∩ c o N P , і підозрюється, що вони не в P . Графічний ізоморфізм зводиться до більшості цих проблем, тому краща верхня межа для них передбачає кращу верхню межу ГІ.$\mathsf{NP} \cap \mathsf{coAM}$$\mathsf{NP} \cap \mathsf{coNP}$$\mathsf{P}$

• $2^{O(n)}|G|$$2^{O(n)}$

• $\mathsf{TIME}(n^{O(\log n)})$$\mathsf{P}$$\mathsf{P}$

Інший

• $\mathbb{F}$$\exists \mathbb{F}$$\mathbb{Q}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$

• $\mathbb{Q}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$

$\mathsf{PRIMES}$$\mathsf{P}$

Додамо ще декілька з акцентом на теорію Галуа та обчислювальну теорію Галуа (див. Пов'язане питання щодо cs.SE ):

$\mathbb{Z}$$\mathbb{P}$

$NP$

відтворено із пов'язаного питання про МО