Чи не можемо ми вивести складність Колмогорова?

Зафіксуємо кодування без машинної префіксації машин Тьюрінга та універсальної машини Тьюрінга яка на вході (кодується як код без префіксу а потім ) видає будь-які виходи на вхід (можливо обидва бігають вічно). Визначте складність Колмогорова , як довжину найкоротшої програми такою, що .$U$$(T,x)$$T$$x$$T$$x$$x$$K(x)$$p$$U(p)=x$

Чи є машина Тьюрінга така, що для кожного вводу він видає ціле числощо відрізняється від складності Колмогорова , тобто але ?$T$$x$$T(x)\le |x|$$x$$T(x)\ne K(x)$$\liminf_{|x|\rightarrow \infty} T(x)=\infty$

Умови необхідні, тому що

(a) якщо $T(x)\not \le |x|$, тоді було б легко вивести число, яке тривіально відрізняється від $K(x)$ оскільки воно більше, ніж $|x|+c_U$ ,

(b) якщо $\liminf_{|x|\rightarrow \infty} T(x)<C$ , то ми можемо просто вивести $0$ (або якусь іншу константу) майже для всіх чисел, "на щастя" здогадавшись щонайбільше одного (безліч кінцевих чисел), які оцінюють до $0$ (до якоїсь іншої константи) і виводять там щось інше. Ми навіть можемо гарантувати $\limsup_{|x|\rightarrow \infty} T(x)=\infty$ , вивівши щось на зразок $2\log n$ для $x=2^n$ .

Також зауважте, що наша робота була б легкою, якби ми знали, що $T(x)$ не є сюжетним, але про це відомо мало , тому відповідь може залежати від $U$ , хоча я сумніваюся, що це буде.

Я знаю, що взаємини взагалі багато вивчаються, але

Хтось коли-небудь задавав подібне питання, де наша мета - дати алгоритм, який не виводить якийсь параметр?

Моя мотивація - це проблема http://arxiv.org/abs/1302.1109 .

Питання можна переосмислити так, чи ні , як Деніс в коментарях зазначає для деяких кодувань це помилково. Ось більш слабке твердження та спроба підтвердження цього, яке не залежить від будь-яких деталей кодування, але я вважаю, що двійкова мова для простоти:$\lim \inf_{\vert x \vert \rightarrow \infty}{\vert T(x) - K(x) \vert} = 0$

Нехай - обчислювальна функція, що задовольняє і . Тоді . Неофіційно, якщо навколо складності Колмогорова кожної струни є ціль, яка зростає необмеженою шириною, жодна обчислювана функція не може уникнути її потрапляння.$T:\{0,1\}^* \rightarrow \mathbb{N}$$0 \le T(x) \le \vert x \vert$$\lim \inf_{\vert x \vert \rightarrow \infty}{T(x)} = \infty$$\lim \inf_{\vert x \vert \rightarrow \infty}{\vert T(x) - K(x) \vert} \lt \infty$

Щоб побачити це, нехай - випадкове бітове число, тобто і . Для всіх така випадкова . Також відзначимо , що існує нескінченне число значень , для яких , це випливає з умов , розміщених на . Нехай тепер буде найменший рядок така , що . Очевидно, що є константа така, що , оскільки і$n$$b$$0 \le n \lt 2^b$$K(n) \ge b$$b$$n$$b$$\vert \{T(x) = b\} \vert \ge 2^b$$T$$x$$n^{\text{th}}$$T(x) = b$$c_1$$K(x) \gt b - c_1$$K(n) \ge b$$n$можна обчислити з . І є константа така, що , тому що також обмежена зверху лише постійною більше , а можна обчислити з . Тоді , і ми маємо нескінченну кількість варіантів для (тих, хто має перевагу кардинальності принаймні ), даючи нескінченну кількість значень для , так ми зробили.$x$$c_2$$K(x) \lt b + c_2$$K(n)$$b$$x$$n$$\vert K(x) - T(x) \vert \lt c_1 + c_2$$b$$2^b$$x$

Під наслідком є ​​те, що для деяких , нескінченно часто. Тож можна сказати, що ми не можемо вивести щось, що не є складністю Колмогорова!$c \in \mathbb{Z}$$T(x) = K(x) + c$

Я думаю, що наступні роботи. Я буду використовувати для складності Колмогорова$C(x)$

• Дайте обмеженому часом (скажімо, деяку експоненціальну функцію довжини вхідної програми) і назвіть результат . Якщо програма перевищує часовий інтервал, надходить у нескінченний цикл.$U$$t$$U^t$$U^t$
• Нехай - найкоротша програма для на . Зауважимо, що обчислюється.$C^t(x)$$x$$t$$C^t$
• Нехай повертає , якщо це значення не дорівнюєу такому випадку поверніть 0. Якщо тільки є результатом порожньої програми, у такому випадку поверніть 1.$T(x)$$C^t(x) + 1$$|x|$$x$
• Оскільки , завжди буде відрізнятися від . Логіка на попередньому кроці стосується кращих справ.$C(x) \leq C^t(x)$$T(x)$$C(x)$
• $U^t$ функціонує як код для всіх рядків, тому він має обмеження нижчої нескінченності.