Коли рандомізація перестає допомагати в рамках PSPACE

Відомо, що додавання рандомізації обмежених помилок до PSPACE не додає потужності. Тобто BPPSAPCE = PSPACE.

Невідомо, чи P = BPP, але відомо, що . $BPP\subseteq \Sigma_2\cap \Pi_2$

Таким чином, можливо (припускаючи хибність) додавання ймовірності до P додає виразної сили.

Моє запитання - чи ми знаємо (чи маємо докази) кордону між P та PSPACE, коли додавання рандомізації вже не додає сили.

Зокрема,

Чи є проблеми, які, як відомо, знаходяться в (відповідно ), які не знаходяться в (респ. )? І подібно до vs ? $BP\Sigma_i$ $BP\Pi_i$ $\Sigma_i$ $\Pi_i$ $BPPH$ $PH$

randomness derandomization polynomial-hierarchy

— Шаул
джерело

BPPH = PH. xxxxxxxxxxxxx

— Еміль Джербек

@ EmilJeřábek - дякую, чи є у вас посилання на цей результат?

— Шоул

Це лише релятивізація теореми Гака – Сіпсера – Лотемана.

— Еміль Єржабек

Хоча для більш жорсткої межі краще відновити включення , що дає (для ), і подвійно .

A M \subseteq Π_{2}^{P}

$\mathrm{AM}\subseteq\Pi^P_2$

B P Σ_{i}^{P} \subseteq Π_{i + 1}^{P}

$\mathrm{BP}\Sigma^P_i\subseteq\Pi^P_{i+1}$

i \geq 1

$i\ge1$

B P Π_{i}^{P} \subseteq Σ_{i + 1}^{P}

$\mathrm{BP}\Pi^P_i\subseteq\Sigma^P_{i+1}$

— Еміль Йерабек

Існує труднощі з передумовою вашого питання - «коли ж рандомизация перестає допомагати в - оскільки вона передбачає , що обчислювальні класи таке , що форма якась лінійна ієрархія, коли цього не видно. $\mathrm{PSPACE}$ $\mathrm{X}$ $\mathrm{P \subseteq X \subseteq PSPACE}$

Ми можемо проілюструвати це порівнянням між ієрархією поліномів та класами підрахунку. Як в коментарях вказує Еміль Йерабек, шляхом релятивізації ,; і тому . З іншого боку, теорема Тоди показує, що Якщо ви вважаєте, що "рандомізація припинила додавати потужність до моменту підйому до ", то ви будете спокушатись на це, тому що

\begin{aligned} B P \cdot Σ_{i}^{p} \subseteq Π_{i + 1}^{p} & and & B P \cdot Π_{i}^{p} \subseteq Σ_{i + 1}^{p} \end{aligned}

$\begin{align*} \mathrm{BP\cdot \Sigma_i^p \subseteq \Pi_{i+1}^p} &&\text{and}&& \mathrm{BP\cdot \Pi_i^p \subseteq \Sigma_{i+1}^p} \end{align*}$

A M \subseteq Π_{2}^{p}

$\mathrm{AM \subseteq \Pi_2^p}\,$

B P \cdot P H = P H

$\mathrm{BP \cdot PH = PH}$

P H \subseteq B P \cdot \oplus P .

$\mathrm{PH \subseteq BP\cdot\oplus P}.$

P H

$\mathrm{PH}$

P H \subseteq B P \cdot \oplus P

$\mathrm{PH \subseteq BP \cdot \oplus P}$ , можливо, насправді . Але я не знаю, що хтось здогадується про це, або навіть що (що було б необхідним наслідком); Я думаю, що будь-який результат такого роду вважатиметься головним проривом.

B P \cdot \oplus P = \oplus P

$\mathrm{BP \cdot \oplus P = \oplus P}$

P H \subseteq \oplus P

$\mathrm{PH \subseteq \oplus P}$

Звичайно, якщо ви дбаєте лише про ієрархію поліномів і загалом (для масштабування до ) кількісних кількісних формул, тоді ви можете отримати якийсь лінійний відповідь на ваше запитання - у цьому випадку коментарі Еміля стосуються як повну відповідь, скільки ви, ймовірно, отримаєте. $\mathrm{PSPACE}$

— Ніль де Бодорап
джерело

Дякую! Я справді думав більше про ієрархію поліномів, ніж інші класи. Насправді це питання випливає з вивчення обмежень часової логіки, тому серед них існує якась ієрархія, і класи підрахунку менш актуальні.

— Шаул

Можливо, тоді ви хочете знайти більш загострену версію свого питання та спробуйте ще раз. :-)

— Ніль де Бодорап

Щодо пункту "рандомізація припинила додавання живлення": у нас також є , але це не означає для всіх класів .

B P \cdot B P P = B P P

$\mathrm{BP\cdot BPP=BPP}$

B P \cdot C = C

$\mathrm{BP}\cdot\mathcal C=\mathcal C$

C \supseteq B P P

$\mathcal C\supseteq\mathrm{BPP}$

— Еміль Єржабек

@Emil: Досить впевнений, хоча справедлива скарга може бути, що вже є випадковість. Тут виникає питання про те, чи можна (для будь-якого класу, як би це не було зазначено) можна сказати, чи він вже містить випадковість, але це набагато складніший чайник з рибою.

— Ніль де Бодорап