Коли графік допускає орієнтацію, за якою є щонайменше одна перша прогулянка?

Розглянемо наступну проблему:

Введення: простий (непрямий) графік .$G=(V,E)$

Запитання: Чи існує орієнтація задовольняє властивість, що для кожного існує максимум одна (спрямована) - хода?$G$$s,t \in V$$s$$t$

Це можна рівнозначно виразити як:

Введення: простий (непрямий) графік .$G=(V,E)$

Питання: Чи є ациклічна орієнтація задовольняє властивості, що для кожного існує максимум один (спрямований) - шлях?$G$$s,t \in V$$s$$t$

Що таке клас графіків, на який відповідь «так»? Чи можна цю проблему вирішити в поліноміальний час?

Деякі зауваження:

1. Якщо графік двосторонній, то відповідь - «так».
2. Якщо графік має трикутник, то відповідь - «ні».

Перше спостереження випливає, орієнтуючи краї від однієї перегородки до іншої. Друге спостереження легко перевірити. Це призвело до двох невірних здогадок:

1. Відповідь "так", якщо і лише тоді, коли графік двосторонній. (контрприклад: 5-цикльний)
2. Відповідь "так", якщо і лише тоді, коли графік не має трикутника (контрприклад: декартовий добуток ребра з 5 циклом)

Він NP-повний зменшенням від не-всі-рівні-3SAT. Щоб побачити це, дотримуйтесь цього

• Єдиною дійсною орієнтацією циклу є та, в якій краї чергують орієнтації.$4$
• Нехай - триспрямований непрямий шлях, і додамо вершину градусів двох, що примикає до кінцевих точок щоб утворити цикл. Тоді єдиними орієнтаціями які можна поширити на дійсні орієнтації всього циклу, є ті, в яких не послідовно орієнтований як спрямований шлях.$P$$P$$5$$P$$5$$P$

Ми формуємо гаджет змінної для змінної яка належить різним пунктам екземпляру NAE-3SAT, склеюючи разом спільні цикли на спільному краї. Тоді в кожному з циклів протилежний край спільного краю повинен бути орієнтований послідовно з усіма іншими циклами. Ми пов'язуємо значення істинності змінної з цією послідовною орієнтацією цих ребер. Крім того, в будь-якій дійсній орієнтації кожного з цих циклів немає шляху від одного циклу до іншого$v$$k$$k$$4$$4$$4$$4$$4$$4$-цикл, тому ці гаджети можуть взаємодіяти один з одним лише в орієнтації їх країв, а не через існування довших шляхів.

Формуємо гаджет для 3-змінної пропозиції екземпляру NAE-3SAT, склеюючи разом три з циклічних ребер, навпроти спільних країв відповідних трьох змінних гаджетів, в 3-крайній шлях а потім додаючи ступінь -дві вершини, щоб завершити у циклі. Як обговорювалося вище, цей цикл може бути послідовно орієнтований тоді і лише в тому випадку, якщо його три ребра не всі орієнтовані як спрямований шлях, який (коли правильно склеюється) є істинним, якщо і лише якщо значення правди, пов'язані з цими орієнтаціями, не всі рівний.$4$$P$$P$$5$$5$

До речі, раніше були вивчені DAGS, що мають щонайменше один - прогулянки для кожної - пари, як "багатопотокові", "сильно однозначні графіки" або "мангрові"; дивіться https://en.wikipedia.org/wiki/Multitree$s$$t$$s$$t$