Теорема прямої суми про складність простору пункту роздільної здатності?

Резолюція - це схема доведення незадовільності CNF. Доказом дозволу є логічне вирахування порожнього пункту для початкових статей CNF. Зокрема, можна зробити висновок про будь-який початковий пункт, а з двох пунктів і можна також вивести пунктСпростування - це послідовність відрахувань, яка закінчується порожнім пунктом. $A \lor x$ $B \lor \neg{x}$ $A \lor B$

Якщо таке спростування буде здійснено, ми можемо розглянути процедуру, яка зберігає деякі пропозиції в пам'яті. У разі, якщо непервісне застереження потрібно використовувати знову, і воно вже не знаходиться в пам'яті, алгоритм повинен його повторити з нуля або з тих, що є в пам'яті.

Нехай найменша кількість пропозицій, що зберігаються в пам’яті, щоб дійти до порожніх пропозицій. Це називається розділ простору складність . Ми кажемо, що є є задоволеним. $Sp(F)$ $F$ $Sp(F)=\infty$ $F$

Проблема, яку я пропоную, полягає в наступному: розгляньте два CNF та , і нехай CNF $A=\bigwedge_{i=1}^m A_i$ $B=\bigwedge_{j=1}^n B_j$

A \lor B = ⋀_{i = 1}^{m} ⋀_{j = 1}^{n} A_{i} \lor B_{j}

$A \lor B = \bigwedge_{i=1}^m \bigwedge_{j=1}^n A_i \lor B_j$

Яке відношення до та ? $Sp(A \lor B)$ $Sp(A)$ $Sp(B)$

Очевидною верхньою межею є . Це тісно? $Sp(A \lor B) \leq Sp(A) + Sp(B) -1$

— MassimoLauria
джерело

Приємне запитання! Чи знаєте ви відповідь щодо розміру прямої суми? Напевно, найгірший випадок, коли A і B не мають загальних змінних. Цікавим може бути випадок, коли A і B однакові до перейменування змінної. До речі, я не бачу, як ти переходиш до цієї верхньої межі, відчуваєш, що це може бути набагато гірше.

— Каве

Тепер я бачу , що верхня межа, ви можете скопіювати спростування для для для отримати по одному для кожного , а потім зробити спростування для . Розмір буде близько .

B

$B$

A_{i} \lor B_{j}

$A_i \lor B_j$

1 \leq j \leq n

$1 \leq j \leq n$

A_{i}

$A_i$

1 \leq i \leq m

$1 \leq i \leq m$

A

$A$

m . (S i z e (B) + O (1)) + S i z e (A)

$m.(Size(B)+O(1))+Size(A)$

— Каве

Ти правий. Я забув це згадати, але, звичайно, найцікавіший випадок у нижній межі - це коли A і B не ділять змінних. Це саме той випадок , я на самому ділі зацікавлені в. З огляду на різний A і B краще индуктивно отримати результат для де непересічні копії змінних одного і того ж .

F_{1} \lor F_{2} \lor \dots F_{k}

$F_1 \lor F_2 \lor \ldots F_k$

F_{i}

$F_i$

F

$F$

— MassimoLauria

Зауважте, що щодо довжини спростування ви легко маєте

L e n g t h (A \lor B) \leq L e n g t h (B) | A | + L e n g t h (A)

$Length(A \lor B) \leq Length(B)|A|+Length(A)$

— MassimoLauria

Верхня межа тривіального простору фактично вимагає одного меншого зауваження в пам'яті. Я відповідно редагував.

— MassimoLauria

Я хотів опублікувати це як коментар, але оскільки я не можу зовсім розібратися з цим способом, я думаю, що замість цього буде "відповідь".

Я згоден, що питання приємне. Звичайно, те саме питання можна задати і щодо тривалості спростування резолюції (тобто, кількості зауважень, що виникають під час спростування, підраховуються з повторами) та ширини спростування (тобто розміру чи кількості буквальних значень, що виникають у , найбільший пункт у спростуванні).

У всіх цих випадках існують "очевидні" верхні межі, але мені незрозуміло, варто очікувати відповідних нижніх чи ні. Тому я хотів додати одне запитання та один коментар.

Питання стосується тривалості спростування. Здається розумним вважати, що гранична довжина, зазначена в коментарі Массімо, є тісною, але чи ми це знаємо?

І коментар стосується ширини. Зауважте, що для цього заходу момент роздуму виявляє, що пряма сума нижньої межі не дотримується. Щодо ширини, то натомість спростовується вся -формула для кожного пункту , шириною , скажімо, плюс ширина -формули, а потім спростовується -формула шириною . Якщо припустити, що обидві формули мають постійну початкову ширину, ширина спростування прямої суми буде по суті . $A$ $B_i$ $w_A$ $B$ $B$ $w_B$ $\max (w_A, w_B)$

Це, звичайно, просте спостереження, але справа в тому, що це може означати, що питання щодо простору може бути складним. Це так, оскільки майже всі нижні межі простору в спростуванні ми знаємо, як проходити через нижню ширину. (Тобто, простір нижніх меж був отриманий незалежно, але з огляду на них, усі вони випливають як наслідок із прекрасного паперу "Комбінаторна характеристика ширини роздільної здатності" Атсерія та Далмау.) Але якщо є теорема прямої суми для роздільної пропозиції простір, воно не випливатиме з нижньої межі ширини, але доведеться сперечатися безпосередньо, що, принаймні, поки що здавалося набагато складніше. Але, звичайно, може бути якийсь простий аргумент, який я пропускаю.

— Якоб Нордстром
джерело

Ласкаво просимо, Якобе!

— arnab

Коментарі, на жаль, обмежуються лише людьми з репутацією принаймні 50 - це дивацтво програмного забезпечення та стосується запобігання спаму. Я впевнений, що ви швидко переступите цей поріг.

— Суреш Венкат

Привіт Якобе, приємно бачити тебе тут. (ps: Я думаю, ви переступили поріг.)

— Kaveh

Привіт Якобе, мені цікаво, чи має такий вид заяви якісь наслідки щодо компромісів. Як техніка нижньої межі, яка не була б дуже потужним інструментом: формула довжини квадрата, а простір лінійно збільшується. У будь-якому випадку ця властивість може призвести до формули з невеликою шириною та великим простором (зауважте, що ширина також зростає, якщо робиться непостійна кількість повторень).

— MassimoLauria