Чи означає, що ширина

Нехай є фіксованим, а - графом (з'єднаним). Якщо я не помиляюся, з роботи Бодлендера випливає, що якщо ширина ширини приблизно приблизно , то містить зірочку як другорядну. $k$ $G$ $G$ $2k^3$ $G$ $K_{1,k}$

Чи можемо ми зменшити термін ? Тобто, чи означає, що ширина ширини принаймні вже означає існування -minor? Чи є десь доказ? $2k^3$ $k$ $K_{1,k}$

[1] Бодлендер, HL (1993). Про лінійні часові незначні тести з глибинним першим пошуком Журнал алгоритмів, 14 (1), 1-23.

graph-theory treewidth graph-minor

— Джухо
джерело

Слабо пов'язаний результат від Демайна і Гаджіагаї : Для фіксованого графіка

будь -який графік, що не містить

манору, шириною ширини

має графік сітки

мінор.

H

$H$

H

$H$

w

$w$

Ω (w) \times Ω (w)

$\Omega(w) \times \Omega(w)$

— mhum

@mhum константа в

залежить експоненціально від

, тож безпосередньо застосувавши це, вийде гірше, ніж

пов'язаних.

Ω

$\Omega$

| H |

$|H|$

2 k^{3}

$2k^3$

— daniello

@daniello Це дійсно так. Константа не дуже приємна, і спеціалізація на графіках, що не містять

не також велика. Я просто хотів вказати на нечітко пов'язаний результат.

H

$H$

— mhum

Дійсно, що кожен графік без мінор має ширину ширини не більше . Ми доводимо це нижче, спочатку кілька визначень: $G$ $K_{1,k}$ $k-1$

$tw(G)$ $G$ $\omega(G)$ $G$ $H$ $G$ $G$ $H$ $H$ $4$ $H$ $G$ $H$ $G$ $X$ $G$ $H$ $G$ $X$ $H$

t w (G) = min_{H} ω (H) - 1

$tw(G) = \min_{H} \omega(H) - 1$

H

$H$

G

$G$

Вищезгадана формула означає, що для доведення достатньо довести, що всі потенційні максимальні кліки мають розмір не більше . Зараз ми це доводимо. Нехай - потенційна максимальна кліка , і припустимо, що . $tw(G) \leq k-1$ $G$ $k$ $X$ $G$ $|X| \geq k+1$

Ми будемо використовувати наступну характеристику потенційних максимальних клік: набір вершин - це потенційна максимальна кліка в якщо і тільки тоді, коли для кожної пари , несуміжних (виразних) вершин у є шлях з в в з усіма його внутрішніми вершинами назовні з . Цю характеристику можна знайти у статті « Ширина та мінімальна заповнення»: Групування мінімальних сепараторів за Бушіттом та Тодінка. $X$ $G$ $u$ $v$ $X$ $P_{u,v}$ $u$ $v$ $G$ $X$

З цією характеристикою легко вивести мінор з . Нехай . Для кожної вершини , або є ребром або існує шлях з в з усіма внутрішніми вершинами поза . Для всіх , які не є суміжними з контрактом усі внутрішні вершини в . Ми закінчуємо мінор який суміжний з усіма , і $K_{1,k}$ $X$ $u \in X$ $v \in X \setminus \{u\}$ $uv$ $G$ $P_{u,v}$ $u$ $v$ $X$ $v \in X$ $u$ $P_{u,v}$ $u$ $G$ $u$ $X$ $|X| \geq k+1$ . Тож ступінь в цьому мінорі становить щонайменше , завершуючи доказ. $u$ $k$

— даніелло
джерело

Дякую, Даніеле! Чи знаєте ви, чи десь той самий аргумент (або результат) був опублікований?

— Джухо

Я не маю посилання, але, схоже, пам’ятаю, що схожий (можливо, менш жорсткий) аргумент для вільних графіків десь записаний. На жаль, у мене немає більш конкретного вказівника.

K_{2, r}

$K_{2,r}$

— daniello