Точна формула для кількості розкинутих дерев прямокутника

10

У цьому блозі йдеться про створення "крутих маленьких лабіринтів" за допомогою комп'ютера, який їх перераховує. Перерахування можна здійснити за допомогою алгоритму Вілсона для отримання UST , але я не пам'ятаю формули, скільки їх існує.

http://strangelyconsistent.org/blog/youre-in-a-space-of-twisty-little-mazes-all-alike

В принципі теорема матричного дерева визначає, що кількість простираються дерев графа дорівнює визначнику лаплаціанської матриці графіка. Нехай $G= (E,V)$ - графік, а $A$ - матриця суміжності, $D$ - матриця градусів, тоді $\Delta = D - A$ з власними значеннями $\lambda$ , тоді:

k (G) = \frac{1}{n} \prod_{k = 1}^{n - 1} λ_{k}

$k(G) = \frac{1}{n} \prod_{k=1}^{n-1} \lambda_k$

У випадку прямокутника $m \times n$ і $A$ і власні значення повинні мати особливо просту форму, яку я не можу знайти.

Яка точна формула (та асимптотика) для # колоди дерев прямокутника $m \times n$ ?

введіть тут опис зображення

Ось неабиякий приклад алгоритму Вілсона в дії.

— Джон Мангуал
джерело

2

Інтернет-енциклопедія цілих послідовностей Точні формули вивести непросто.

— Пітер Шор

@PeterShor цитує OEIS: Жермен Креверас, Комплексні схеми та схеми Euleriens dans les sommes tensorielles de graphes , J. Combin. Теорія, В 24 (1978), 202-212. Він - це ті ж об’єкти, що і ми?

— Джон Мангуал

m \times n

$m \times n$

9

Відповідно до https://www.cse.ust.hk/~golin/pubs/ANALCO_05.pdf не існує відомої формули закритої форми.

$n$ $m$

\exp (z_{s q} m n)

$\exp (z_{\mathrm{sq}}mn)$

z_{s q} = \frac{4}{π} \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{i}}{(2 i + 1)^{2}} \approx 1.16624

$z_{\mathrm{sq}}=\frac{4}{\pi}\sum_{i=0}^\infty\frac{(-1)^i}{(2i+1)^2}\approx 1.16624$

m

$m$

n

$n$

— Девід Еппштейн
джерело

Існують точні асимптотичні формули для кількості діючих дерев у прямокутнику (та більш загальні послідовності підграфів, описаних прямолінійними багатокутниками), наведені тут: arxiv.org/pdf/math-ph/0011042.pdf (конкретно, слід 2 та пропозиція 13 )

— Лоренцо Найт

Знову ж таки, це у сховищі математичної фізики. Чи доводить вони суворо асимптотичні формули або просто використовують фізико-міркування, подібні до ансацу?

— Девід Еппштейн

Він був опублікований у Acta Math 185 (2000) №. 2, 239-286.

— Лоренцо Найт

0

Власні значення графіка прямокутника m-by-n можна використовувати для отримання виразу для кількості досконалих відповідностей у таких графіках. Дивіться статтю у Вікіпедії про облицювання доміно .

— Тайсон Вільямс
джерело

Це цікаво, але чи можете ви уточнити, як це вирішує питання? Чи існує якесь відображення між ідеальними суміщеннями та натягнутими деревами в цьому конкретному випадку?

— Саїд