Кількість Автоморфізмів графіка для ізоморфізму графа

Нехай і - два прямокутні сполучені графіки розміром . Нехай безліч перестановок такі , що . Якщо , то є безліч автоморфізмів . $G$ $H$ $r$ $n$ $A$ $P$ $PGP^{-1}=H$ $G=H$ $A$ $G$

Яка найвідоміша верхня межа за розміром ? Чи є результати для окремих класів графіків (не містять повних / циклівних графіків)? $A$

Примітка: Побудувати групу автоморфізму як мінімум так само складно (з точки зору її обчислювальної складності), як і розв'язання задачі графома ізоморфізму. Насправді, лише підрахунок автоморфізмів є поліноміально-часовим еквівалентом ізоморфізму графа, пор.

— Джим
джерело

Вормальд показав, що якщо - зв'язаний -регулярний графік з вершинами 2n, то кількість автоматифізмів ділить . Зокрема, це дає нетривіальну експоненціальну верхню межу для прямого випадку. Можливо, в цьому рядку є результати для загальних -регулярних графіків. $G$ $3$ $G$ $3n\cdot 2^n$ $3$ $k$

Для нижньої межі, розгляне формулу з входами , чиїх ворота складання коміром вентилятор в 2. Потім , використовуючи resut з Toran можна побудувати - регулярний граф з вершини, група автоморфізмів кодують всі можливі оцінки . Це означає, що кількість автоморфізмів становить щонайменше . Це показує, що існує величина нижньої межі експоненціальної кількості автоморфізмів -регулярних графіків у функції її кількості вершин. $F$ $n$ $\mod k$ $k$ $G(F)$ $O(k^2\cdot n)$ $F$ $G(F)$ $k^n$ $k$

— Матеус де Олівейра Олівейра
джерело

Будь ласка, врахуйте наступний графік: 1. звичайний графік і звичайний графік (жоден з них не є повним або циклічним графіком) з'єднуються між собою через E кількість ребер, скажімо, цей приєднаний графік є неправильним графіком 2. кожна вершина звичайний графік має ребра з регулярним графіком . Немає двох вершин регулярного графа , які мають однакову кількість ребер з регулярним графіком . Чи може автоморфізм G бути експоненціальним?

r_{1}

$r_1$

r_{2}

$r_2$

G

$G$

r_{1}

$r_1$

r_{2}

$r_2$

r_{1}

$r_1$

r_{2}

$r_2$

— Джим

так. Графік G2 може мати експоненціальну кількість автоморфізмів. Нехай H1 - будь-який регулярний графік r1 з n вершинами, пронумерованими 1 ... n.Нехай H2 - це графік, отриманий наступним процесом (розділений на 3 коментарі). Нехай D - алмазний графік, тобто 4-цикл разом з ребром, що з'єднує дві раніше не сусідні вершини. Скажіть, що ці дві вершини є внутрішніми вершинами D. Інші дві вершини - це зовнішні вершини D. Очевидно, що існує автоматизм, який міняє як внутрішні вершини, так і залишає зовнішні вершини недоторканими.

— Матеус де Олівейра Олівейра

Тепер розглянемо роз'єднане з'єднання двох циклів C1 і C2 з n (n + 1) / 2 вершин, пронумерованих від 1 до n (n + 1) / 2. Також розглянемо n (n + 1) / 2 копії діамодального графіка. Тепер для кожного i підключіть один із зовнішніх вершин D_i до i-ї вершини С1, а іншу зовнішню вершину до i-ї вершини С2. Тоді графік H2, отриманий цим процесом, є 3-регулярним і має експоненціальну кількість автоматичних написань, оскільки внутрішні вершини кожного D_i можна змінювати окремо.

— Матеус де Олівейра Олівейра

Тепер для кожної вершини v_j H1 додаємо 2j ребра від v_j до внутрішніх вершин алмазів таким чином, що обидві внутрішні вершини алмаза D_i з'єднаються з однією і тією ж вершиною в H1. Це гарантує, що внутрішні вершини алмаза все ж можуть змінюватися, і тому загальна кількість автоморфізмів у графі G2 є експоненціальною.

— Матеус де Олівейра Олівейра

Неважко показати, що зв'язаний графік порядку і максимальної валентності має групу автоморфізму порядку не більше . Знайдіть впорядкування вершин таким чином, що, починаючи з другої, кожна вершина прилягає принаймні до однієї вершини, яка була раніше. Нехай - підгрупа, що фіксує перші вершини. Це низхідний ланцюг підгруп, з і . Звідси випливає теорема про стабілізатор орбіти, що , і для .

n

$n$

k

$k$

n k (k - 1)^{n - 2}

$nk(k-1)^{n-2}$

G_{i}

$G_i$

i

$i$

| G : G_{1} | \leq n

$|G:G_1|\leq n$

G_{n} = 1

$G_n=1$

| G_{1} : G_{2} | \leq k

$|G_1:G_2|\leq k$

| G_{i} : G_{i + 1} | \leq k - 1

$|G_i:G_{i+1}|\leq k-1$

i \in {2, \dots, n - 1}

$i\in\{2,\ldots,n-1\}$

— verret

Якщо ви дозволяєте від'єднати графіки, то немає хороших верхніх меж щодо кількості вершин.

Для -регулярних графіків візьмемо неперервне об'єднання повних графіків . Тоді на графіку є вершини, іавтоморфізми. $r$ $l$ $K_{r+1}$ $(r+1)\cdot l$ $(r+1)!\cdot l!$

— торі
джерело