Чи існує пряме / природне зменшення для підрахунку неподібних добічних поєднань із використанням постійних?

Підрахунок кількості досконалих відповідностей у двопартійному графіку негайно зводиться до обчислення постійних. Оскільки пошук ідеального узгодження в небіпартійному графіку знаходиться в NP, існує деяке скорочення від не-двопартійних графіків до постійних, але це може спричинити неприємне поліномічне вибуху, використовуючи скорочення Кука до SAT, а потім теорему Валіана зменшити до постійний.

Ефективне та природне скорочення від небітерального графіка до матриці де було б корисно для фактичної реалізації для підрахунку ідеальних відповідностей за допомогою існуючі, сильно оптимізовані бібліотеки, які обчислюють постійні. $f$ $G$ $A = f(G)$ $\operatorname{perm}(A) = \Phi(G)$

Оновлено: я додав щедрості за відповідь, включаючи ефективно обчислювану функцію, щоб взяти довільний графік до двопартійного графіка з однаковою кількістю досконалих відповідностей і не більше ніж вершин. $G$ $H$ $O(n^2)$

— Деррік Столі
джерело

Поточна назва звучить як запитання домашнього завдання, але власне питання набагато цікавіше. Я майже навіть не відкривав питання б / с. Я думав, що це домашнє завдання, і незабаром його закриють, поки я не побачив, що в ньому вже було 9 оновлень і мені стало цікаво ... Можливо, змініть заголовок на щось більше за принципом: " Чи існує пряме / природне зменшення для підрахунку неподібних ідеальних поєднань із використанням постійних? "

— Джошуа Грохов

Гарна ідея. Я навіть про це не думав. Спасибі.

— Деррік Столі

Нітпікінг: "Оскільки знайти ідеальну відповідність у небіпаративному графіку знаходиться в NP" → "Оскільки підрахунок ідеальних відповідностей у небіпартійному графіку знаходиться в #P"

— Цуйосі Іто

Ваша нітропіка є правильною, і я вважав, що це написав, але як я це написав, натякає, що зменшення застосовується до скорочення Кука, а потім зменшення Валіанта. Я шукаю прямого, ефективного скорочення.

— Деррік Столі

Існує скорочення, яке дозволяє уникнути Кука: спочатку напишіть формулу VNP для ідеальних відповідностей (я можу придумати той, який дуже схожий на постійний і має розмір ). Тоді за універсальністю постійного це можна записати як постійне матриці розміром . Для цього використовується той факт, що формулу розміру можна записати як постійну матрицю розміру . Більш пряме, ніж пройти через Кука, але все ж не настільки пряме / природне, як те, як хімічна хімія враховує ідеальні відповідність у двосторонньому графіку.

\leq 4 n^{4}

$\leq 4n^4$

4 n^{4} + 1

$4n^4 +1$

S

$S$

S + 1

$S+1$

— Джошуа Грохов

Відповіді:

Я б сказав, що "просте" скорочення до двостороннього співпадіння вкрай малоймовірне. По-перше, це дало б алгоритм пошуку ідеального відповідності в загальному графіку за допомогою угорського методу. Отже, скорочення повинно містити всю складність алгоритму цвітіння Едмонда. По-друге, це дасть компактний LP для ідеального узгодження політопу, а значить, скорочення не повинно бути симетричним (що виключається в результаті Яннакакіса) і, по суті, дуже складним.

— Мохіт Сінгх
джерело

Це все вагомі причини, чому це навряд чи існує. Я повинен був попросити спростування у питанні. Я, мабуть, дам якусь нагороду цій відповіді, якщо хтось не доведе, що ви неправі.

— Деррік Столі

Незважаючи на те, що я не хотів відповіді, яку я хотів, я вважав це дуже задоволеною відповіддю.

— Деррік Столі

@MohitSingh Чи можете ви, будь ласка, розробити "відсутність угорського методу для небіпартійних графіків", "що містить усю складність алгоритму цвітіння" і чому це дасть "компактний LP для ідеального узгодження і тому не повинен бути несиметричним" ?

— Т ....

Це, очевидно, коментар, а не відповідь, але я ще не маю жодної точки репутації, тому шкода з цього приводу.

Для графіків без двосторонніх кубічних містків існує експоненціально багато ідеальних відповідностей, як Ловаш і Пламмер вигадали у 70-х. Стаття готується. Це може бути дуже актуальним для вашого запитання, а може і зовсім.

— Андрій Д. Кінг
джерело