Приклад, коли найменший нормальний лямбда-термін не найшвидший

Нехай з -термінах бути визначений таким чином :$size$$\lambda$

• $size(x) = 1$ ,
• $size(λx.t) = size(t) + 1$ ,
• $size(t s) = size(t) + size(s) + 1$ .

Нехай складність $\lambda$ -term $t$ визначається як кількість паралельних скорочень бета-версії від $t x$ до нормальної форми (використовуючи оптимальну оцінку в сенсі Леві).

Я шукаю приклад двох нормальних $\lambda$ -термінів для тієї ж функції, де більший термін має меншу складність.

...

Редагувати для наочності

оскільки здається, що не очевидно, про що я прошу, спробую навести ґрунтовний приклад. Часто існує думка, що "наївне" / "найпростіше" визначення функції повільне і не оптимальне. Кращі показники підвищують складність терміна, оскільки вам потрібні додані структури даних, формули тощо. Чудовим прикладом є те fibonacci, що можна «наївно» визначити як:

-- The fixed fibonacci definition
fib_rec fib n =
    if (is_zero x) 
        then 1 
        else fib (n - 1) + f (n - 2)

-- Using church numbers instead of the λ-combinator to get a normal form
fib n = n fib_rec 0 n 

Це часто розглядають як "найпростіше" визначення фіб, і дуже повільне (експоненціальне). Якщо розширити залежності fib( звичайні визначення для додавання церковних чисел, pred, is_zero) і нормалізувати його, ми отримаємо цей термін:

fib = (λa.(a(λbc.(c(λdef.f)(λde.d)(λde.(de))
      (λde.(b(λfg.(c(λhi.(i(hf)))(λh.g)(λh.h)))
      d(b(λfg.(c(λhi.(i(h(λjk.(k(jf))))))(λhi.g)
      (λh.h)(λh.h)))de)))))(λbc.c)a))

Удосконалення, такі як таблиці запам'ятовування, посилили б цей термін. І все-таки існує інший термін, який набагато менший ...

fib = (λa.(a(λb.(b(λcde.(e(λfg.(cf(dfg)))c))))
      (λb.(b(λcd.(cd))(λcd.d)))(λbc.b)))

і, що цікаво, також асимптотично перевершує наївного, що працює O(N). З усіх визначень, які мені відомі, це і найшвидший і найпростіший . Такий же ефект відбувається і з сортуванням. "Наївні" визначення, такі як сортування бульбашок та сортування вставок, часто розширюються до величезних термінів (довжина 20+ рядків), але існує невелике визначення:

-- sorts a church list (represented as the fold) of church numbers
sort = λabc.a(λdefg.f(d(λhij.j(λkl.k(λmn.mhi)l)(h(λkl.l)i))
       (λhi.i(λjk.bd(jhk))(bd(h(λjk.j(λlm.m)k)c))))e)(λde.e)
       (λde.d(λfg.g)e)c

Що також відбувається швидше, асимптотично, ніж будь-яке інше я знаю визначення. Це спостереження приводить мене до думки, що, на відміну від загальноприйнятої думки, найпростіший термін із найменшою складністю Колмогорова, як правило, швидше. Моє питання, в основному, чим раніше є якісь докази протилежного, хоча мені було б важко його формалізувати.

Теорема про прискорення Блума зазвичай викладається мовою частково рекурсивних функцій, але, до тривіальних відмінностей у позначенні, вона працює точно так само в мові -cculus.$\lambda$

У ньому йдеться про те, що, враховуючи будь-яку міру розумної складності (наприклад, оптимальна кількість скорочень, як у питанні) та рекурсивну функцію (наприклад, ), ми можемо знайти рекурсивний предикат таким, що:f ( x , y ) 2 y P ( x $M$$f(x,y)$$2^y$$P(x)$

Для кожного алгоритму (тобто -term у звичайній формі тут) обчислень , існує інший алгоритм для який має -скорость над : g P h P f g f ( x , M ( h , x ) ) ≤ M ( g , x )  для всіх досить великих входів  x $\lambda$$g$$P$$h$$P$$f$$g$

$$f(x,M(h,x))\le M(g,x)\text{ for all large enough inputs }x,$$

де позначає складність обчислення на вході в відповідно вимірювання .g x $M(g,x)$$g$$x$$M$

Отже:

• $P$ не має асимптотично оптимального алгоритму в даній мірі

• зокрема, найкоротший алгоритм не є асимптотично оптимальним$P$

• для будь-якого алгоритму для існує асимптотично більш швидкий алгоритм, нормальна форма якого довше (тому що до перейменування змінних існує лише кінцево багато нормальних доданків заданої довжини)$P$