Алгоритм множення матричного вектора з використанням мінімальної кількості доповнень

10

Розглянемо наступну проблему:

Давши матрицю $M$ ми хочемо оптимізувати кількість доповнень в алгоритмі множення для обчислення $v \mapsto Mv$ .

Я вважаю цю проблему цікавою через її зв’язок зі складністю множення матриць (ця проблема є обмеженою версією множення матриці).

Що відомо про цю проблему?

Чи є якісь цікаві результати, пов'язані з цією проблемою зі складністю проблеми множення матриць?

Відповідь на проблему, мабуть, передбачає пошук схем, що мають лише допоміжні ворота. Що робити, якщо дозволити віднімання воріт?

Я шукаю скорочення між цією проблемою та іншими проблемами.

Мотивовано

— взн
джерело

Якщо

- матриця

0-1, то відомі нижні межі щодо кількості доповнень суттєво залежать від того, над якою групою / напівгрупою працюємо. Якщо ми будемо працювати над напівгрупи

або навіть

, потім Нечипорук Кордон, разом з відомими конструкціями, дає явне нижня межа про

. Якщо, однак, ми в групі

M

$M$

n \times n

$n\times n$

(N, +)

$(N,+)$

({0, 1}, \lor)

$(\{0,1\},\lor)$

n^{2 - o (1)}

$n^{2-o(1)}$

(G F (2), +)

$(GF(2),+)$ , тоді ситуація є досить гнітною: найсильніші відомі нижні межі мають лише форму

. Більше можна знайти тут .

ω (n)

$\omega(n)$

— Стасіс

9

Це, по суті, проблема, яка мотивувала Валіанта вводити матричну жорсткість у складність (наскільки я розумію історію).

Лінійний ланцюг - це алгебраїчна схема, єдиними воротами якої є два вхідні лінійні комбіновані ворота. Кожне лінійне перетворення (матриця) може бути обчислене лінійною схемою квадратичного розміру, і питання полягає в тому, коли можна зробити краще. Відомо, що для випадкової матриці не можна зробити значно кращого.

Деякі матриці - наприклад, матриця перетворення Фур'є, матриця низького рангу або розріджена матриця - можна зробити значно краще.

Досить жорстку матрицю неможливо обчислити лінійними ланцюгами, що мають одночасно лінійний розмір і глибину журналу (валіант), але до цього часу не відомі явні матриці, для яких існує суперлінійна нижня межа розміру лінійних схем.

Я не пригадую, щоб бачити результати, які говорять про те, що важко обчислити розмір найменшої лінійної ланцюга для даної матриці, але я не здивуюсь, якби це було непросто.

— Джошуа Грохов
джерело

3

Це важко для NP, див. Cstheory.stackexchange.com/a/32272/225

— Райан Вільямс,

7

$M$

$\Omega(n (\log n/\log \log n)^{d-1})$ $M$ $n\times n$ $d$
$\Omega(n^{4/3})$ $M$ $n\times n$ $d$
$\tilde{\Omega}(n^{2-2/(d+1)})$ $M$ $n\times n$ $d$

Ці межі - це по суті найкраще. Див. Розділ 6.3. у книзі Шазел .

— Сашо Ніколов
джерело