Які параметри графа НЕ зосереджені на випадкових графах?

Добре відомо, що багато важливих параметрів графіків демонструють (сильну) концентрацію на випадкових графах, принаймні в деякому діапазоні вірогідності ребра. Деякі типові приклади - це хроматичне число, максимальний клік, максимальний незалежний набір, максимальна відповідність, число домінування, кількість копій фіксованого підграфу, діаметр, максимальний ступінь, номер вибору (номер розмальовки списку), Ловас , ширина дерева тощо.$\theta$

Питання: Які є винятки, тобто значущі параметри графа, які не зосереджені на випадкових графах?

Редагувати. Можливе визначення концентрації:

Нехай - параметр графа на -верхових випадкових графах. Ми називаємо це концентрованим , якщо для кожного , що Концентрація сильна , якщо ймовірність наближається до 1 при експоненціальній швидкості. Але іноді сильний використовується в іншому розумінні, маючи на увазі той факт, що конвергенція залишається істинною зі скороченням інтервалу, даючи, можливо, дуже вузький діапазон. Наприклад, якщо X_n - мінімальний градус, то для деякого діапазону вірогідності ребра р можна довести $X_n$$n$$\epsilon>0$

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\Pr\big((1-\epsilon)E(X_n)\leq X_n \leq (1+\epsilon)E(X_n)\big)=1.$$ $X_n$$p$ $$\lim_{n\rightarrow\infty}\Pr\big(\lfloor E(X_n)\rfloor\leq X_n \leq \lceil E(X_n)\rceil\big)=1$$ який є найкоротшим можливим інтервалом (як ступінь це ціле число, але очікуваного значення може не бути).

Примітка: Можна побудувати штучні виключення з правила концентрації. Наприклад, нехай $X_n=n$ , якщо графік має непарну кількість ребер, а 0 в іншому випадку. Це явно не зосереджено, але я б не вважав це значущим параметром.

Багато параметрів найбільшого з'єднаного компонента не концентруються для якщо і загалом, якщо знаходиться у критичному вікні. Прикладами є діаметр та розмір найбільшого компонента, розмір другого за величиною компонента, кількість листків, які має компонент тощо.$G(n,p)$$p=1/n$$p$

Див. Напр

Олдус, Девід. "Браунівські екскурсії, критичні випадкові графіки та мультиплікативний коалесцент". Аннали ймовірності (1997): 812-854.

Нахмія, Асаф та Юваль Перес. "Критичні випадкові графіки: діаметр і час перемішування." Аннали ймовірності 36, ні. 4 (2008): 1267-1286.

Аддаріо-Беррі, Луїджі, Ніколя Брутін та Крістіна Голдшмідт. "Межа континууму критичних випадкових графіків." Теорія ймовірностей та суміжні поля 152, вип. 3-4 (2012): 367-406.

Нездатність до концентрації трапляється для деяких властивостей підрахунку ( ), а може бути і для багатьох з них.$\#\mathsf{P}$

Простим прикладом є кількість проміжних підграфів ( ). Кількість ребер довільного графіка коливається на тому кількість розтягуваних підграфів коливається на коефіцієнт , що знаходиться далеко від фактора використовуєте у своєму визначенні концентрації. ± Θ ( n ) 2 Θ ( n ) ( 1 + ϵ $2^m$$\pm \Theta(n)$$2^{\Theta(n)}$$(1+\epsilon)$

Щоб показати, що це не поодинокий приклад, ось аргумент (не зовсім суворий, але, можливо, його можна зробити суворим), чому невдача в концентрації також повинна відповідати кількості гамільтонових циклів. Очікуване значення цього числа чітко : кожна з циклічних послідовностей вершин має шанс фактично бути a Гамільтонів цикл. За аналогічним аргументом очікувана кількість змін до цього числа, викликана введенням нового краю, буде , меншим за лінійним коефіцієнтом. Якби кількість гамільтонових циклів була сильно сконцентрованою, більшість крайових переворотів спричинили б зміну цього числа, що наближається до очікуваного значення. Але тоді ( n - 1 ) ! / 2 +1 / 2 п ( п - 2 ) ! / 2 n - 1 Θ ( n $(n-1)!/2^{n+1}$$(n-1)!/2$$1/2^n$$(n-2)!/2^{n-1}$$\Theta(n)$ коливання кількості ребер викликало б коливання кількості циклів Гамільтонів, пропорційне його очікуваному значенню, що суперечило б припущенню сильної концентрації.

Інші правдоподібні кандидати на невміння сконцентруватися включають кількість забарвлень (перегородки вершин на незалежні множини), кількість відповідностей або ідеальних відповідностей або кількість дерев, що розкидаються.