Чи існує природна проблема в квазіполіномний час, а не в поліноміальний час?

Нещодавно Ласло Бабай довів, що проблема ізоморфізму Графа перебуває у квазіполіномічному часі . Дивіться також його розмови в Чиказькому університеті, примітка до переговорів Джеремі Куна GLL post 1 , GLL post 2 , GLL post 3 .

Згідно з теоремою Ладнера, якщо $P \neq NP$ , то не порожній, тобто містить проблеми, яких немає ні ні . Однак мова, побудована Ладнером, є штучною, а не природною проблемою. Як відомо, жодна природна проблема не існує в навіть умовно під . Але деякі проблеми, як вважають, є хорошими кандидатами на , наприклад, цілі числа Факторинга та GI.$NPI$$NP$$P$$NP$$NPI$$P \neq NP$$NPI$

Ми можемо подумати, що за результатами Бабая може бути алгоритм багаточленного часу для GI. Багато експертів вважають, що .$NP \not\subseteq QP = DTIME(n^{poly\log n})$

Є деякі проблеми, для яких нам відомі квазіполіноміальні алгоритми часу, але не відомий алгоритм багаточленного часу. Такі проблеми виникають в алгоритмах наближення; відомий приклад - спрямована проблема дерева Штейнера, для якої існує алгоритм наближення квазіполіноміального часу, що досягає відношення наближення ( n - кількість вершин). Однак показ існування такого поліноміального алгоритму часу є відкритою проблемою.$O(\log^3 n)$$n$

Моє запитання:

Чи знаємо ми якісь природні проблеми, які є в $QP$ а не в $P$ ?

Насправді було досить багато останніх робіт щодо доведення квазіполіномічного часу виконання нижчих меж для обчислювальних задач, здебільшого на основі гіпотези експоненціального часу. Ось декілька результатів для проблем, які я вважаю цілком природними (усі результати нижче залежать від ETH):

• Ааронсон, Імпальяццо та Мошковіц [1] демонструють нижню межу квазіполінома часу для щільних задач задоволення обмежень (CSP). Зауважимо, що спосіб визначення CSP у цій роботі дозволяє домену бути поліноміально великим, оскільки, як відомо, у випадку, коли домен малий, існує PTAS.

• Браверман, Ко та Вайнштейн [2] доводять квазіполіноміальну нижню межу для знаходження кращої ϵ -приблизної рівноваги Неша, що відповідає алгоритму Ліптона та ін. [3].$\epsilon$$\epsilon$

• Браверман, Ко, Рубінштейн та Вайнштейн [4] показують квазіполіноміальну нижню межу часу для наближення найгустішого -субграфа з ідеальною повнотою (тобто заданий графік, що містить k- кліку, знаходить підграф розміру k, який є ( 1 - ϵ ) -густота для деякої малої постійної ϵ ). Знову ж, існує квазіполіноміальний алгоритм часу для задачі (Фейге та Зельцер [5]).$k$$k$$k$$(1 - \epsilon)$$\epsilon$

Список літератури

1. AM з декількома Мерлінами. «Комп'ютерна складність» (CCC), 2014 р., 29-а конференція IEEE, на сторінках 44–55, червень 2014 року.

2. Марк Браверман, Янг Кун Ко та Омрі Вайнштейн. Апроксимація найкращої рівноваги наша в -раз порушує гіпотезу експоненціального часу. У працях двадцять шостого щорічного симпозіуму ACM-SIAM з дискретних алгоритмів, SODA '15, стор. 970–982. СІАМ, 2015 рік.$n^{o(log n)}$

3. Річард Дж. Ліптон, Евангелос Маркакіс та Араняк Мехта. Гра в великі ігри, використовуючи прості стратегії. У працях 4-ї конференції АСМ з питань електронної торгівлі, ЄС '03, стор. 36–41, Нью-Йорк, штат Нью-Йорк, США, 2003. ACM.

4. Марк Браверман, Янг Кун-Ко, Авіад Рубінштейн та Омрі Вайнштейн. Твердість ETH для Densest- -Subgraph із ідеальною повнотою. Електронний колоквіум з обчислювальної складності (ECCC), 22:74, 2015.$k$

5. У. Фейге та М. Зельцер. Про найбільш щільні -задачі задач. Технічний звіт, 1997.$k$

Мегіддо і Vishkin довели , що мінімальний набір домінуючого в турнірах в . Вони показали, що домінуючий набір турніру має алгоритм P-часу, якщо iff SAT має алгоритм субекспоненціального часу. Тому проблема, що домінує на турнірі, не може бути в P, якщо ETH не відповідає дійсності.$QP$$P$

Дуже цікаво зазначити, що гіпотеза експоненціальної часу одночасно випливає, що набір турніру, що домінує, не може мати багаточленних алгоритмів часу і він не може бути -комплектним$NP$ . Іншими словами, ETH означає, що домінуючий набір турніру знаходиться в проміжному.$NP$

Woeginger пропонує проблему кандидата, вирішувану в квазіполіномійному часі і, ймовірно, не має алгоритмів поліноміального часу: Враховуючи цілих чисел, чи можете ви вибрати log n з них, які складають до 0 ?$n$$\log n$$0$

Обчислювальний розмір ВК, здається, малоймовірний у поліноміальному часі, але має алгоритм квазіполіноміального часу.

Крім того, здається, що важко виявити посаджений клик розміром у випадковому графіку, але його можна знайти в квазіполіномічний час; хоча характер цієї проблеми обіцянки дещо інший, ніж інші згадані.$O(\log n)$

Якщо гіпотеза експоненціального часу є правильною (або навіть слабшою версією), тоді не можна вирішити 3SAT для випадків з полілогічним числом змінних у поліномному часі. Звичайно, квазіполіномний час може легко вирішити такі випадки.

$T(n ) * \log n$$T(n)$$T(n)$

Нещодавно було показано, що вирішення ігор Parity в QP: https://www.comp.nus.edu.sg/~sanjay/paritygame.pdf

$\mu$

$NP\cap coNP$$UP\cap coUP$

Однак останній документ, приведений вище, зробив значний стрибок до QP. Досі невідомо, чи є ці ігри в П.

У класичних алгоритмах кореляційного розпаду та складних нулів функцій розділення квантових систем багатьох тіл Арам Харроу, Саїд Мехрабан та Мехді Солейманіфар

класичний алгоритм квазіполіномного часу, який оцінює функцію розподілу квантових систем багатьох тіл при температурах вище температури переходу теплової фази

представлено.

Тут не можна багато сказати про частину питання "але не в поліноміальний час". Можливо, навіть існує ймовірність, що алгоритм багаточленного часу буде знайдено пізніше, враховуючи історію попередньої роботи, див. Нижче.

Як "оцінка функції розділу" пов'язана з алгоритмами наближення? Попередня робота (стор. 11):

Нещодавно існує концептуально інший підхід до оцінки функції розділу, який є основою цієї роботи. Цей підхід розглядає функцію розділення як високомірний поліном і використовує усічене розширення Тейлора для розширення рішення в обчислювально легкій точці до нетривіального режиму параметрів. З моменту його впровадження [Bar16a] цей метод застосовувався для отримання детермінованих алгоритмів для різних цікавих проблем, таких як феромагнітна та антиферромагнітна моделі Ізінга [LSS19b, PR18] на обмежених графіках.

включає

[LSS19b] Jingcheng Лю, Алістер Сінклер та Піюш Шрівастава. Функція розділу Ізінга: нулі та детерміновані наближення. Журнал статистичної фізики, 174 (2): 287–315, 2019. arXiv: 1704.06493

в якій йдеться про наступну роботу у відповідній роботі:

Паралельно в роботі Барвінок ініціював дослідження Тейлорської апроксимації логарифму функції перегородки, що призвело до алгоритмів наближення квазіполіноміального часу для різних задач підрахунку [6, 7, 9, 10]. Зовсім недавно Патель та Регтс [41] показали, що для декількох моделей, які можна записати як індуковані підгрупи, можна реально отримати FPTAS від такого підходу.

[41] В. Патель та Г. Регтс. Алгоритми аппроксимації поліноміально-часових детермінованих функцій розділів та поліномів графіків. SIAM J. Comput., 46 (6): 1893–1919, груд. 2017. arXiv: 1607.01167

На закінчення, "оцінка функції розділення" тісно пов'язана з алгоритмами наближення, і існували алгоритми апроксимації квазіполіноміального часу для різних задач підрахунку, і для деяких з цих FPTAS були отримані. Таким чином, цей клас проблем, пов'язаних з функцією розділення, здається, виробляє алгоритми наближення квазіполіноміального часу, але часто пізніші вдосконалення досягають поліноміального часу.