Розкладання дерева для плоских графіків

9

Спочатку запитували на math.SE без відповідей.

Припустимо, у мене є плоский графік із планарним вбудовою, як я можу знайти розкладання дерева?
Яке оптимальне розкладання дерева а $d$ -by- $d$ квадратну сітку? Не зовсім впевнений, як визначити "оптимальний", але слід розрізняти розкладання одним великим мішком і розкладання багатьма великими мішками.

11

Якщо те, що ви насправді хочете, є хорошим порядком усунення, ви можете шукати узагальнене вкладене розсічення . Це стратегія, яка використовує хороші роздільники площинного графа $O(n^{\omega/2})$ алгоритми усунення Гаусса, детермінанта тощо для матриць, що надходять із плоских графіків.

— Джейсон Мортон
джерело

Цікаво, що я знайшов цілу скарбницю літератури, що розширюється щодо методу. Якщо я правильно розумію, з урахуванням оптимального порядку усунення, оптимальне розкладання дерев легко

— Ярослав Булатов,

13

Для першого питання відкрито, чи можна знайти розклад дерева для плоских графіків у поліноміальний час. Найкращий алгоритм апроксимації може бути Щуролов алгоритм Сеймур і Томасом, який обчислює branchwidth з плоского графа, тому вона має відношення 1,5 апроксимації співвідношення між branchwidth і деревної шириною.

Для другої ми маємо таку теорему про ширину ширини $k \times k$ сітки:

Теорема. А $k \times k$ сітка має ширину $k$ .

А сумки можна взяти з розміром $k+1$ , із загалом $k(k-1)$ сумки. Я не впевнений, чи це те, що ви хочете, тому сміливо робіть це, якщо ви модифікуєте визначення "оптимальне".

— Сісен-Чі Чанг 張顯之
джерело

4

Якщо ви не хочете оптимальної декомпозиції дерев, ви можете побудувати декомпозицію дерева, обчислюючи роздільники рекурсивно.

— Суреш Венкат
джерело