Пошук найрідкішого рішення системи лінійних рівнянь

13

Наскільки важко знайти найрідкіше рішення системи лінійних рівнянь?

Більш офіційно розглянемо таку проблему рішення:

Екземпляр: Система лінійних рівнянь з цілими коефіцієнтами і числом $c$ .

Питання: Чи існує рішення в системі з принаймні $c$ змінними, присвоєними нулем?

Я також намагаюся визначити, яка залежність від $c$ . Тобто, можливо, проблема FPT з параметром $c$ .

Будь-які ідеї чи посилання дуже оцінені.

— Майкл Вехар
джерело

12

Розглянемо задачу $\text{MAX-LIN}(R)$ щодо максимізації кількості задоволених лінійних рівнянь над деяким кільцем $R$ , яке часто є NP-жорстким, наприклад у випадку $R=\mathbb{Z}$

Візьмемо приклад цієї проблеми, де - матриця . Нехай . Побудуйте нову лінійну систему , де - матриця , тепер - розмірний вектор , і $Ax=b$ $A$ $n\times m$ $k=m+1$ $\tilde{A}\tilde{x} = \tilde{b}$ $\tilde{A}$ $kn \times (kn+m)$ $\tilde{x}$ $(kn+m)$ $\tilde{b}$ - розмірний вектор: $kn$

де-матриця тотожності.

\tilde{A} = [\begin{matrix} A & I_{n} \\ I_{n} & - I_{n} \\ I_{n} & - I_{n} \\ ⋱ & ⋱ \\ I_{n} & - I_{n} \end{matrix}], \tilde{b} = [\begin{matrix} b \\ 0 \\ ⋮ \\ 0 \end{matrix}]

$\tilde{A} = \begin{bmatrix} A & I_n & & & \\ & I_n & -I_n & & \\ & & I_n & -I_n & \\ & & & \ddots &\ddots \\ & & & & I_n & -I_n \\ \end{bmatrix}, \tilde{b} = \begin{bmatrix} b \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix}$

I_{n}

$I_n$

n \times n

$n \times n$

Слід зазначити , що ця система завжди виконується вектором . Насправді перші записи можуть бути довільними, і є якийсь вектор рішення з цим префіксом. $\tilde{x} = \begin{pmatrix} 0 & b & b & \cdots & b \end{pmatrix}^T$ $m$ $\tilde{x}$

Тепер я стверджую, що частка рівнянь є задовольняючою, якщо існує розріджене рішення яке має принаймні нулі. Це тому, що кожен задоволений ряд дає потенційних нулів, коли подовжується до $\delta$ $Ax=b$ $\tilde{A}\tilde{x}=\tilde{b}$ $\delta nk$ $Ax=b$ $k$ $x$ $\tilde{x}$

Таким чином, якщо ми знайдемо розрідженість найрідкішого розчину до , ми також максимізували , діливши розрідженість на . $\tilde{A}\tilde{x}=\tilde{b}$ $\delta$ $k$

Тому я вважаю, що ваша проблема є важкою для NP.

— Джо Бебель
джерело

1

Класно! Дякую, що поділився. Отже, на вашу думку, залежність від c? Як ви думаєте, ми можемо вирішити його менше ніж де - розмір введення?

p o l y (n) \cdot (\binom{n}{c})

$poly(n) \cdot {n \choose c}$

n

$n$

— Майкл Вехар

1

Звичайно: якщо ми припустимо, що вам задано, які елементи дорівнюють нулю, ви можете просто видалити ці елементи з щоб отримати нижній розмір а також видалити відповідні стовпці з щоб отримати . Потім використовуйте гауссова елімінація, щоб вирішити, чи можлива скорочена система ; якщо це так, то ви знайшли розріджене рішення. Потім ви спробуйте всі можливі .

c

$c$

x

$x$

x

$x$

x^{'}

$x'$

A

$A$

A^{'}

$A'$

A^{'} x^{'} = b

$A' x' = b$

(\binom{n}{c})

$\binom{n}{c}$

A^{'} x^{'}

$A'x'$

— Джо Бебель

1

@MichaelWehar Я не знаю , є чи ця проблема FPT чи ні , хоча

— Джо Бебель

6

Проблема полягає в тому NP-повна, відновлення з наступного завдання: дано матриці з цілими записами і цілочисельним вектором з записами, чи існує 0-1 вектора з ? $m\times n$ $A$ $b$ $n$ $x$ $Ax=b$

Для кожної координати вектора , $x_i$ $x$

введіть нових рівнянь з , і $100(n+m)$ $x_i+y_{i,k}=0$ $k=1,\ldots,100(n+m)$
введемо нових рівнянь з . $100(n+m)$ $x_i+z_{i,k}=1$ $k=1,\ldots,100(n+m)$

Крім того, використовуйте стару систему рівнянь . $Ax=b$

Існує рішення 0-1 для вихідної системи , якщо і тільки якщо нова система має рішення, в якому принаймні змінних дорівнюють нулю. $Ax=b$ $100(n+m)n$

— Гамов
джерело

4

Це називається проблемою "Найрідкіше рішення вектор", і це справді NP-важко .

— РБ
джерело

4

Ця проблема є складною в різних умовах. Як зазначено в інших відповідях на це запитання, проблема є цілою NP повна.

При обробці сигналу матриця і вектори мають раціональні записи, і цю проблему іноді називають проблемою рідкої реконструкції . У цьому випадку проблема не є повною NP (див. Теорему 1).

У теорії кодування записи є з кінцевого поля, і цю проблему іноді називають проблемою декодування з максимальною ймовірністю . У цій установці проблема є NP-повною і не перебуває у субекспоненціальному часі , припускаючи гіпотезу про експоненціальний час. Крім того, згідно з попередньою версією статті про arXiv (див. Лему C.2 у версії 1 статті), проблема W [1] -повна.

— argentpepper
джерело

Ваша посилання на W [1] -комплектність, схоже, не має "леми C.2".

@ RickyDemer Існує лема C.2 у версії 1 статті, яку він пов’язав. Однак, схоже, версія 2 має іншу назву і зовсім недавно була змінена.

— Майкл Вехар

Ця лема використовує параметризацію, відмінну від ОП.

О, я не розумів, що є оновлена версія, я перегляну її і відповідно оновлю відповідь.

— argentpepper

Як я вже згадував у своєму попередньому коментарі, що "лема використовує іншу параметризацію від ОП", тож навіть якщо припустити, що результат вірний (незважаючи на те, що він був видалений із версії 2), питання ОП щодо параметризованої складності все одно буде відкритим.