Оцінка симетричних многочленів

Нехай - симетричний многочлен , тобто поліном такий, що для всіх і всі перестановки . Для зручності можна припустити, що є кінцевим полем, щоб уникнути вирішення проблем із моделлю обчислення. $f:\mathbb{K}^n \to \mathbb{K}$ $f(x)=f(\sigma(x))$ $x \in \mathbb{K}^n$ $\sigma \in S_n$ $\mathbb{K}$

Нехай позначає складність обчислення , тобто складність алгоритму, який за даними повертає . Чи можемо ми якось охарактеризувати , виходячи з властивостей ? Наприклад, чи гарантується нам, що є многочленом (в ) для всіх симетричних многочленів ? $C(f)$ $f$ $x$ $f(x)$ $C(f)$ $f$ $C(f)$ $n$ $f$

Як особливий випадок, виглядає так: (а) ми можемо обчислити поліноми суми потужності за часом , і (b) ми можемо обчислити елементарні симетричні многочлени в часі , використовуючи особистість Ньютона . Як наслідок, якщо - зважена сума одночленів, де змінна не піднімається до потужності, вищої за 1 (тобто, якщо багатолінійна), може бути обчислена в поліноміальний час (оскільки вона може бути виражена як зважена сума елементарних симетричних многочленів). Наприклад, коли $\text{poly}(n)$ $\text{poly}(n)$ $f$ $f$ $f$ $\mathbb{K}=GF(2)$ , то кожен симетричний многочлен може бути обчислений у многочлен. Чи можна сказати щось більше, ніж це?

cc.complexity-theory permutations polynomials

— DW
джерело

Якщо вас цікавить обчислення за

ви можете уточнити модель обчислення.

R

$\mathbb{R}$

— Каве

@Kaveh, ах, відмінний момент. Я думаю, що я не зосереджений на жодному полі, тому, напевно, я запитаю про обмежені поля, щоб усунути цю проблему. Мене більше цікавить, чи є результати чи систематичні прийоми визначення складності оцінювання симетричного многочлена

f

$f$

— DW

Як визначається f? Це має вирішальне значення для складності оцінювання.

— Томас

@Thomas, це не має значення. Для будь-якого одного фіксованого

добре визначений (це складність найкращого алгоритму обчислення

). Це чітко визначено і не залежить від того, як

"вказано". (Зверніть увагу, що

не є входом до алгоритму, тому його подання не потрібно визначати.) Або, якщо говорити, якщо я маю симетричну функцію

я хочу обчислити, чи є методи чи результати щоб допомогти мені знайти ефективний алгоритм для обчислення

або визначити, наскільки ефективно моє

може бути обчислено?

f

$f$

C (f)

$C(f)$

f

$f$

f

$f$

f

$f$

f

$f$

f

$f$

f

$f$

— DW

@Thomas, так: якщо є результати або методи, які застосовуються, коли ступінь не надто велика, це здається корисним. (Наприклад, якщо ступінь wrt до кожної змінної, розглянута окремо, є максимум невеликою постійною

, ми можемо щось сказати? Останній абзац мого запитання обробляє випадок

; чи можемо ми сказати більше? Або, альтернативно, якщо загальний ступінь

не надто великий, чи можемо ми щось сказати?)

c

$c$

c = 1

$c=1$

f

$f$

— DW

Питання здається цілком відкритим. Чи, можливо, ви хочете мати точну характеристику часової складності будь-якого можливого симетричного многочлена над кінцевими полями?

У будь-якому випадку, принаймні, наскільки мені відомо, є кілька відомих результатів про складність у часі обчислення симетричних многочленів:

Якщо - елементарний симетричний многочлен над кінцевим полем, то його можна обчислити за допомогою однорідних схем полінома . $f$ $TC^0$
Якщо - елементарний симетричний многочлен над характерним полем , то його можна обчислити за глибиною розміру полінома трьома рівномірними алгебраїчними ланцюгами (як ви вже згадували поліном Ньютона; або за формулою інтерполяції Лагранжа); і тому я вважаю, що це перекладається на однорідні булеві ланцюги поліноміального розміру (хоча можливо не постійної глибини) (але це може залежати від конкретного поля, в якому ви працюєте; для простоти ви можете розглянути кільце цілих чисел; хоча для цілих чисел, які я вважаю , достатньо для обчислення симетричних многочленів у будь-якому випадку.) $f$ $0$ $TC^0$
Якщо - симетричний многочлен над кінцевим полем, то для глибини три алгебраїчні кола для є експоненціальною нижньою границею (за Григор’євим та Різборовим (2000) [слідуючи за Григор'євим та Карпінським 1998]). Але, як згадувалося в 1 вище, це відповідає лише нижній межі булевої схеми постійної глибини (хоча в є невеликі рівномірні булеві ланцюги ; це означає також, що поліноми обчислюються в поліноміально-часі). $f$ $f$ $TC^0$

Напевно, є більш відомі результати про часову складність симетричного многочлена ...

— Іддо Цамарет
джерело