Чи можете ви пояснити інтуїцію, що стоїть за когерентними просторами?

Лінійна логіка інтерпретується за допомогою когерентних просторів , і вони помітно помітні в роботах Жирара. Я знаю всі три основні способи їх формального визначення, і вони насправді не створюють жодних проблем використовувати та доводити речі, але я просто не можу зрозуміти, що вони означають .

Справді відчувається, що існує якийсь спосіб їх зрозуміти . Перш за все, є кілька прикладів щодо них, які використовують функції на булевих (наприклад, десь у вікі ). І це натякає на щось цікаве та змістовне, що стоїть за формальним визначенням. Однак boolце дуже простий когерентний простір, без кліку розміру > 1. Може хтось детальніше розробив?

Інша річ, де Гірард десь говорить, що кожна точка узгодженого простору являє собою певну "послідовність питань / відповідей", причому два моменти є когерентними, якщо вони "роздвоєні негативно (тобто, на різні запитання)", і несумісними, якщо роздвоєні різні відповіді [1]. Це здається легко зрозуміти ідею, але я просто не можу винайти приклад, це означає, що я не дуже його розумію ...

Може хтось, будь ласка, допоможе мені в цьому?

[1] JY Girard, Привид прозорості . URL: http://iml.univ-mrs.fr/~girard/longo1.pdf

Інтуїція за просторами когерентності полягає в тому, що елементи когерентного простору представляють спостереження деяких базових даних, а співвідношення когерентності говорить вам про те, чи могли два спостереження походити з однієї частини даних.

Конкретно, припустимо, у нас є набір тварин

Animals = {cat, duck, fish}

Тепер ми можемо мати набір спостережень:

Observations = {warm-blooded, swims, water-breathing, furry}

Скажемо, що два спостереження сумісні, якщо вони можуть бути зроблені з однієї тварини. Кожне спостереження сумісне саме з собою, а крім того:

• $\stackrel{{\large\frown}}{{\small\smile}}$
• $\stackrel{{\large\frown}}{{\small\smile}}$
• $\stackrel{{\large\frown}}{{\small\smile}}$
• $\stackrel{{\large\frown}}{{\small\smile}}$

Ми знаємо, що бути теплокровними сумісно з плаванням, оскільки качки є і теплокровними, і плавають. Але теплокровність та дихання водою не сумісні, оскільки у нас немає тварин, які є і теплокровними, і вододихаючими.

Observations$\stackrel{{\large\frown}}{{\small\smile}}$Observations$\stackrel{{\large\frown}}{{\small\smile}}$

У мене завжди виникали проблеми з формуванням інтуїції для когерентності просторів, поки я не ознайомився з теорією доменів і не прочитав "Життя Ф. змінних типів через п’ятнадцять років" Жирара. Простіри когерентності - це лише особливий вид домену, і мені було набагато простіше зрозуміти, що означає узгодженість починаючи звідти. Я спробую дати пояснення, яке мало більш-менш сенс для мене.

Уявіть, що ви хочете вивчати програми, які приймають цілі входи на цілі виходи. Загалом ці програми можуть циклічно вічно, тому має сенс моделювати їх математично як часткові функції від цілих чисел до цілих чисел: якщо програма циклічно, відповідна часткова функція не визначена на цьому вході. Ми можемо розглядати таку часткову функцію fяк графік : набір пар цілих чисел, (n, m)такий, який fвизначений на nі дорівнює m. Це дозволяє представити ці функції як когерентний простір:

• Павутина простору когерентності - це безліч пар цілих чисел (n, m).
• Дві пари (n, m)і (n', m')є когерентними, якщо і тільки якщо nі n'різні, або mі m'рівні.

Розпаковуючи визначення, ми бачимо, що кожна кліка цього когерентного простору є графіком часткових функцій, і навпаки. Ми можемо інтерпретувати співвідношення узгодженості так, що одна часткова функція визначена на вході, вона дає лише один результат для цього вводу. Якщо ви звикли до інших видів доменно-теоретичної семантики, включення кліків відповідає звичайному порядку Скотта щодо часткових функцій на цілі числа.